Номер 64, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

По условию задачи, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x) = 2x - 4$.
1. Нахождение первообразной $F(x)$
Общий вид первообразной для $f(x)$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int f(x) \,dx = \int (2x - 4) \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = x^2 - 4x + C$
где $C$ - произвольная постоянная.

2. Нахождение константы C
Известно, что график функции $F(x)$ проходит через точку $A(0; 4)$. Это означает, что при $x=0$, значение функции $F(0)=4$. Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$, чтобы найти $C$:
$F(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + C = 4$
$C = 4$
Таким образом, конкретная первообразная имеет вид:
$F(x) = x^2 - 4x + 4$
Можно заметить, что это формула полного квадрата: $F(x) = (x-2)^2$.

3. Нахождение пределов интегрирования
Площадь фигуры ограничена графиками функций $f(x) = 2x - 4$ и $F(x) = x^2 - 4x + 4$. Чтобы найти пределы интегрирования, необходимо найти точки пересечения этих графиков, решив уравнение $f(x) = F(x)$:
$2x - 4 = x^2 - 4x + 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 2x + 4 + 4 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, пределы интегрирования - от $a=2$ до $b=4$.

4. Вычисление площади фигуры
Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиками двух функций, вычисляется как интеграл от разности этих функций в найденных пределах. Формула площади:
$S = \int_a^b |F(x) - f(x)| \,dx$
Нам нужно определить, какая из функций больше на интервале $(2, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=3$:
$f(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$
$F(3) = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
Поскольку $f(3) > F(3)$, на интервале $(2, 4)$ график функции $f(x)$ расположен выше графика $F(x)$.
Таким образом, площадь вычисляется по интегралу:
$S = \int_2^4 (f(x) - F(x)) \,dx = \int_2^4 ((2x - 4) - (x^2 - 4x + 4)) \,dx$
$S = \int_2^4 (2x - 4 - x^2 + 4x - 4) \,dx = \int_2^4 (-x^2 + 6x - 8) \,dx$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} - 8x \right) \right|_2^4 = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x \right) \right|_2^4$
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
$S = \left( -\frac{4^3}{3} + 3(4^2) - 8(4) \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + 3(2^2) - 8(2) \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 3(16) - 32 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 3(4) - 16 \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 48 - 32 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 12 - 16 \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 16 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 4 \right)$
$S = -\frac{64}{3} + 16 + \frac{8}{3} + 4$
$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{8}{3} \right) + (16 + 4)$
$S = -\frac{56}{3} + 20 = -\frac{56}{3} + \frac{60}{3} = \frac{4}{3}$

Графики функций и искомая площадь:

Ответ: $S = \frac{4}{3}$ квадратных единиц.