Номер 65, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Шешуі:

Есептің шарты бойынша, бізге қабырғасының ұзындығы $a$-ға тең, және осы қабырғаға іргелес бұрыштары $\alpha$ және $\beta$ болатын үшбұрыш берілген. Осы үшбұрышты ұзындығы $a$-ға тең қабырғасынан айналдырғанда пайда болатын дененің көлемін табу керек.

Үшбұрышты көрсетілген қабырғасынан айналдырғанда, пайда болған геометриялық дене ортақ табаны бар екі конустан тұрады. Айналу осі ($a$ қабырғасы) осы екі конустың биіктіктерінің қосындысына тең болады.

Төмендегі суретте үшбұрыш ABC көрсетілген, мұнда AB қабырғасының ұзындығы $a$ және ол айналу осі болып табылады. C төбесінен AB осіне CH биіктігі түсірілген. Бұл биіктік пайда болған екі конустың ортақ табанының радиусы $r$ болады.

Айналу денесінің жалпы көлемі $V$ екі конустың көлемдерінің қосындысына тең: $V = V_1 + V_2$.

Бірінші конустың (төбесі A) биіктігі $h_1 = AH$, ал екінші конустың (төбесі B) биіктігі $h_2 = HB$. Екі конустың да табандарының радиусы $r = CH$.

Конустың көлемінің формуласы: $V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Сонда жалпы көлем: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1 + h_2)$.

$h_1 + h_2 = AH + HB = AB = a$ болғандықтан, көлем формуласы келесі түрге келеді: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 a$.

Енді $r$ радиусын берілген $a$, $\alpha$ және $\beta$ арқылы өрнектейік. ACH және BCH тікбұрышты үшбұрыштарын қарастырамыз:
$\triangle ACH$-дан: $\text{tg} \alpha = \frac{CH}{AH} = \frac{r}{h_1}$, бұдан $h_1 = \frac{r}{\text{tg} \alpha} = r \cdot \text{ctg} \alpha$.
$\triangle BCH$-дан: $\text{tg} \beta = \frac{CH}{HB} = \frac{r}{h_2}$, бұдан $h_2 = \frac{r}{\text{tg} \beta} = r \cdot \text{ctg} \beta$.

$a = h_1 + h_2$ теңдігін қолданып, $h_1$ және $h_2$ өрнектерін орнына қоямыз: $a = r \cdot \text{ctg} \alpha + r \cdot \text{ctg} \beta = r(\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta)$.

Осыдан $r$ радиусын табамыз: $r = \frac{a}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta}$.

Тригонометриялық тепе-теңдікті қолданып, котангенстердің қосындысын түрлендірейік: $\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\cos \alpha \sin \beta + \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$.

Демек, радиус $r$ үшін соңғы өрнек: $r = \frac{a}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}} = \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Табылған $r$ мәнін көлем формуласына ($V = \frac{1}{3} \pi r^2 a$) қоямыз: $V = \frac{1}{3} \pi a \left( \frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \right)^2$.

Соңғы өрнекті ықшамдаймыз: $V = \frac{1}{3} \pi a \cdot \frac{a^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{\sin^2(\alpha + \beta)} = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{3 \sin^2(\alpha + \beta)}$