Номер 63, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 2x + 1$ и ее производной, выполним следующие действия.

1. Найдём производную функции.

Исходная функция: $f(x) = x^2 - 2x + 1$.

Её производная, которую обозначим $g(x)$, равна:

$g(x) = f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = 2x - 2$.

2. Найдём точки пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$.

Для этого приравняем выражения для функций:

$f(x) = g(x)$

$x^2 - 2x + 1 = 2x - 2$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - 2x - 2x + 1 + 2 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Эти значения являются пределами интегрирования.

3. Вычислим площадь фигуры с помощью определённого интеграла.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $y_{верх}$ и $y_{нижн}$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

В нашем случае $a=1$, $b=3$. Чтобы определить, какая из функций является верхней на интервале $(1, 3)$, выберем пробную точку, например, $x=2$:

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

$g(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$

Поскольку $g(2) > f(2)$, на интервале $(1, 3)$ график производной $g(x)=2x-2$ расположен выше графика функции $f(x)=x^2-2x+1$.

Значит, $y_{верх} = g(x)$ и $y_{нижн} = f(x)$. Интеграл для площади будет:

$S = \int_{1}^{3} (g(x) - f(x)) dx = \int_{1}^{3} ((2x - 2) - (x^2 - 2x + 1)) dx$

$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \bigg|_{1}^{3}$

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1) \right)$

$S = \left( -\frac{27}{3} + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right)$

$S = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.