Номер 56, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Первым шагом найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(4; 0)$ и $(0; 4)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.

Подставив координаты точки $(0; 4)$, получим: $4 = k \cdot 0 + b$, откуда $b=4$.

Теперь подставим координаты точки $(4; 0)$ и найденное значение $b$: $0 = k \cdot 4 + 4$, откуда $4k = -4$, то есть $k = -1$.

Таким образом, уравнение прямой: $y = -x + 4$.

Далее, найдем точки пересечения параболы $y = 4x - x^2$ и прямой $y = -x + 4$, приравняв их уравнения:

$4x - x^2 = -x + 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху параболой $y_1 = 4x - x^2$ и снизу прямой $y_2 = -x + 4$ на интервале $[1, 4]$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_1^4 (y_1 - y_2) dx = \int_1^4 ((4x - x^2) - (-x + 4)) dx = \int_1^4 (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_1^4 = \left(-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left(-\frac{1}{3} + 2.5 - 4 \right)$

$S = \left(-\frac{64}{3} + 24 \right) - \left(-\frac{1}{3} - 1.5 \right) = \left(\frac{-64+72}{3} \right) - \left(\frac{-2-9}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6} \right)$

$S = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Графическое представление задачи:

Ответ: 4,5

2)

Фигура ограничена параболой $y = 3x^2$ (при $x \le 0$), осью абсцисс ($y=0$) и прямой, проходящей через точки $(-3; 0)$ и $(0; 4,5)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Из точки $(0; 4,5)$ следует, что $b = 4,5$.

Подставив точку $(-3; 0)$: $0 = k(-3) + 4,5 \Rightarrow 3k = 4,5 \Rightarrow k = 1,5$.

Уравнение прямой: $y = 1,5x + 4,5$.

Теперь найдем точку пересечения параболы $y = 3x^2$ и прямой $y = 1,5x + 4,5$ при $x \le 0$.

$3x^2 = 1,5x + 4,5$

$3x^2 - 1,5x - 4,5 = 0$ | $\cdot 2$

$6x^2 - 3x - 9 = 0$ | $: 3$

$2x^2 - x - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{6}{4} = 1,5$ (не удовлетворяет условию $x \le 0$).

$x_2 = \frac{-4}{4} = -1$ (удовлетворяет условию).

Таким образом, искомая область состоит из двух частей. Точка $x=-1$ является границей между ними.

1. На интервале $[-3, -1]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 1,5x + 4,5$ и снизу осью $y=0$.

2. На интервале $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху параболой $y = 3x^2$ и снизу осью $y=0$.

Площадь $S$ равна сумме площадей этих двух частей:

$S = S_1 + S_2 = \int_{-3}^{-1} (1,5x + 4,5) dx + \int_{-1}^{0} 3x^2 dx$

Вычислим первый интеграл:

$S_1 = \left. \left(\frac{1,5x^2}{2} + 4,5x \right) \right|_{-3}^{-1} = \left. \left(0,75x^2 + 4,5x \right) \right|_{-3}^{-1}$

$S_1 = (0,75(-1)^2 + 4,5(-1)) - (0,75(-3)^2 + 4,5(-3)) = (0,75 - 4,5) - (0,75 \cdot 9 - 13,5)$

$S_1 = (-3,75) - (6,75 - 13,5) = -3,75 - (-6,75) = 3$.

Вычислим второй интеграл:

$S_2 = \int_{-1}^{0} 3x^2 dx = \left. x^3 \right|_{-1}^{0} = 0^3 - (-1)^3 = 0 - (-1) = 1$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 3 + 1 = 4$.

Графическое представление задачи:

Ответ: 4