Номер 50, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) f(x) = -x² + 4x - 4;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осями координат, необходимо найти пределы интегрирования. Фигура ограничена графиком функции, осью Oy ($x=0$) и осью Ox ($y=0$).

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

1. Пересечение с осью Oy (когда $x=0$):
$f(0) = -0^2 + 4(0) - 4 = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.

2. Пересечение с осью Ox (когда $f(x)=0$):
$-x^2 + 4x - 4 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$.

График функции представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(2, 0)$. Таким образом, на промежутке от $x=0$ до $x=2$ функция принимает неположительные значения ($f(x) \le 0$).

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от модуля функции в пределах от 0 до 2:

$S = \int_0^2 |f(x)| \,dx = \int_0^2 -(-x^2 + 4x - 4) \,dx = \int_0^2 (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_0^2 = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_0^2$

$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4(2) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 4(0) \right)$

$S = \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

2) f(x) = -x² + 6x - 9.

Аналогично первому случаю, найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения графика с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy (когда $x=0$):
$f(0) = -0^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения $(0, -9)$.

2. Пересечение с осью Ox (когда $f(x)=0$):
$-x^2 + 6x - 9 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x-3)^2 = 0$
$x = 3$.

График этой функции — парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(3, 0)$. На промежутке от $x=0$ до $x=3$ функция принимает неположительные значения ($f(x) \le 0$).

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от модуля функции в пределах от 0 до 3:

$S = \int_0^3 |f(x)| \,dx = \int_0^3 -(-x^2 + 6x - 9) \,dx = \int_0^3 (x^2 - 6x + 9) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 9x \right]_0^3 = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_0^3$

$S = \left( \frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 9(3) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 3(0^2) + 9(0) \right)$

$S = \left( \frac{27}{3} - 3(9) + 27 \right) - 0 = (9 - 27 + 27) = 9$

Ответ: $9$