Номер 52, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = x+1$, $x=0$ и $x=2$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций больше на отрезке $[0, 2]$.

Рассмотрим разность функций $h(x) = (x+1) - \sin x$. Найдем ее производную: $h'(x) = 1 - \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $h'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является неубывающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[0, 2]$.

Найдем значение $h(x)$ в начальной точке отрезка, $x=0$: $h(0) = (0+1) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Поскольку функция $h(x)$ неубывающая и $h(0)=1$, то $h(x) \ge 1$ для всех $x \ge 0$. Следовательно, на отрезке $[0, 2]$ выполняется неравенство $x+1 \ge \sin x$. Значит, график функции $y = x+1$ лежит выше графика $y = \sin x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по заданному отрезку:

$S = \int_{0}^{2} ((x+1) - \sin x) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (x+1 - \sin x) \,dx = \left( \frac{x^2}{2} + x - (-\cos x) \right) \Big|_0^2 = \left( \frac{x^2}{2} + x + \cos x \right) \Big|_0^2$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{2^2}{2} + 2 + \cos 2 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 + \cos 0 \right) = (2 + 2 + \cos 2) - (0 + 0 + 1) = 4 + \cos 2 - 1 = 3 + \cos 2$

Используем данное в условии приближенное значение $\cos 2 \approx -0,41$:

$S \approx 3 + (-0,41) = 2,59$

Ответ: $S = 3 + \cos 2 \approx 2,59$.

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 3-x$, $x=0$ и $x=-1$, необходимо вычислить определенный интеграл на отрезке $[-1, 0]$. Сначала определим, какая из функций больше на этом отрезке.

Рассмотрим разность функций $h(x) = (3-x) - \cos x$. Найдем ее производную: $h'(x) = -1 - (-\sin x) = \sin x - 1$.

На отрезке $[-1, 0]$ значения функции $\sin x$ лежат в диапазоне $[\sin(-1), \sin(0)]$, то есть примерно $[-0,84, 0]$. Следовательно, $\sin x \le 0$ на этом отрезке. Тогда $h'(x) = \sin x - 1$ будет всегда отрицательной ($h'(x) < 0$), так как максимальное значение $\sin x$ равно 0, и $0-1 = -1 < 0$.

Поскольку $h'(x) < 0$, функция $h(x)$ является убывающей на отрезке $[-1, 0]$.

Найдем значение $h(x)$ в конечной точке отрезка, $x=0$: $h(0) = (3-0) - \cos(0) = 3 - 1 = 2$.

Так как функция $h(x)$ убывающая и $h(0)=2$, то на всем отрезке $[-1, 0]$ ее значения будут больше или равны 2. Таким образом, $3-x \ge \cos x$ на отрезке $[-1, 0]$, и график функции $y=3-x$ лежит выше графика $y=\cos x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по заданному отрезку:

$S = \int_{-1}^{0} ((3-x) - \cos x) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{-1}^{0} (3-x - \cos x) \,dx = \left( 3x - \frac{x^2}{2} - \sin x \right) \Big|_{-1}^0$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( 3(0) - \frac{0^2}{2} - \sin 0 \right) - \left( 3(-1) - \frac{(-1)^2}{2} - \sin(-1) \right)$

$S = (0 - 0 - 0) - \left( -3 - \frac{1}{2} - \sin(-1) \right) = - \left( -3.5 - \sin(-1) \right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-1) = -\sin(1)$:

$S = -(-3.5 - (-\sin 1)) = -(-3.5 + \sin 1) = 3.5 - \sin 1$

Используем данное в условии приближенное значение $\sin 1 \approx 0,84$:

$S \approx 3.5 - 0.84 = 2.66$

Ответ: $S = 3,5 - \sin 1 \approx 2,66$.