Номер 49, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 4$, $y=0$ (ось абсцисс) и $x=0$ (ось ординат). Функция $y = x^2 - 4x + 4$ может быть представлена как полный квадрат: $y = (x-2)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(2, 0)$ на оси абсцисс.

Площадь искомой фигуры — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=(x-2)^2$, снизу — осью $Ox$, а по бокам — прямыми $x=0$ и $x=2$ (точка касания параболы с осью $Ox$). Поскольку функция $y=(x-2)^2 \ge 0$ для всех $x$, площадь вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 \right) = \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 6x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Функция $y = x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $y = (x+3)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-3, 0)$ на оси абсцисс.

Фигура ограничена графиком функции $y=(x+3)^2$, осью $Ox$ ($y=0$), и пределами интегрирования от точки касания $x=-3$ до $x=0$. Так как $y=(x+3)^2 \ge 0$ на этом интервале, площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} + 9x \right]_{-3}^{0} = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{-3}^{0}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + 3 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) \right)$

$S = 0 - \left( \frac{-27}{3} + 3 \cdot 9 - 27 \right) = -(-9 + 27 - 27) = -(-9) = 9$.

Ответ: $9$.

3) Фигура ограничена линиями $y = 4x^2 + 12x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Функция $y = 4x^2 + 12x + 9$ является полным квадратом: $y = (2x+3)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-\frac{3}{2}, 0)$ на оси абсцисс.

Фигура ограничена графиком функции $y=(2x+3)^2$, осью $Ox$ ($y=0$), и пределами интегрирования от точки касания $x=-3/2$ до $x=0$. Так как $y=(2x+3)^2 \ge 0$ на этом интервале, площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-3/2}^{0} (4x^2 + 12x + 9) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{12x^2}{2} + 9x \right]_{-3/2}^{0} = \left[ \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 9x \right]_{-3/2}^{0}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = (0) - \left( \frac{4}{3} \left(-\frac{3}{2}\right)^3 + 6 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 9 \left(-\frac{3}{2}\right) \right)$

$S = - \left( \frac{4}{3} \left(-\frac{27}{8}\right) + 6 \left(\frac{9}{4}\right) - \frac{27}{2} \right) = - \left( -\frac{9}{2} + \frac{27}{2} - \frac{27}{2} \right) = - \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = 9x^2 - 6x + 1$, $y=0$ и $x=0$. Функция $y = 9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом: $y = (3x-1)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(\frac{1}{3}, 0)$ на оси абсцисс.

Фигура ограничена графиком функции $y=(3x-1)^2$, осью $Ox$ ($y=0$), и прямыми $x=0$ и $x=1/3$. Так как $y=(3x-1)^2 \ge 0$ на этом интервале, площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{0}^{1/3} (9x^2 - 6x + 1) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{9x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + x \right]_{0}^{1/3} = \left[ 3x^3 - 3x^2 + x \right]_{0}^{1/3}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( 3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \right) - (0)$

$S = 3 \cdot \frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.