Номер 44, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для вычисления интеграла $\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x-1}}$ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 3x-1$. Тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=2$, то $t = 3 \cdot 2 - 1 = 5$. Если $x=12$, то $t = 3 \cdot 12 - 1 = 35$.

Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:

$\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x-1}} = \int_{5}^{35} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{5}^{35} t^{-1/2} dt$.

Теперь найдем первообразную для $t^{-1/2}$: $\int t^{-1/2} dt = \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{t^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{t}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{3} [2\sqrt{t}]_{5}^{35} = \frac{2}{3} (\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

Ответ: $\frac{2}{3}(\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

2)

Для вычисления интеграла $\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}$ также используем метод замены переменной.

Пусть $t = 2x+1$. Тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=4$, то $t = 2 \cdot 4 + 1 = 9$. Если $x=12$, то $t = 2 \cdot 12 + 1 = 25$.

Подставим в интеграл:

$\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}} = \int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{9}^{25} t^{-1/2} dt$.

Первообразная для $t^{-1/2}$ равна $2\sqrt{t}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_{9}^{25} = [\sqrt{t}]_{9}^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $2$.

3)

Рассмотрим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{1+x^2} dx$.

Упростим подынтегральное выражение, выполнив деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе. Для этого сгруппируем слагаемые в числителе:

$2x^3 + x^2 + 2x + 1 = (2x^3 + 2x) + (x^2 + 1) = 2x(x^2+1) + 1(x^2+1) = (2x+1)(x^2+1)$.

Теперь подынтегральная функция принимает вид:

$\frac{(2x+1)(x^2+1)}{1+x^2} = 2x+1$.

Интеграл упрощается до:

$\int_{2}^{3} (2x+1) dx$.

Найдем первообразную: $\int (2x+1) dx = 2\frac{x^2}{2} + x = x^2+x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[x^2+x]_{2}^{3} = (3^2+3) - (2^2+2) = (9+3) - (4+2) = 12 - 6 = 6$.

Ответ: $6$.

4)

Рассмотрим интеграл $\int_{-3}^{-2} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 1} dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1)$.

Теперь подынтегральная функция принимает вид:

$\frac{(x^2-1)(x-1)}{x^2-1} = x-1$.

Заметим, что знаменатель $x^2-1$ обращается в ноль при $x=\pm1$, но эти точки не входят в отрезок интегрирования $[-3, -2]$, поэтому сокращение корректно.

Интеграл упрощается до:

$\int_{-3}^{-2} (x-1) dx$.

Найдем первообразную: $\int (x-1) dx = \frac{x^2}{2} - x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[\frac{x^2}{2} - x]_{-3}^{-2} = (\frac{(-2)^2}{2} - (-2)) - (\frac{(-3)^2}{2} - (-3)) = (\frac{4}{2} + 2) - (\frac{9}{2} + 3) = (2+2) - (\frac{9}{2}+\frac{6}{2}) = 4 - \frac{15}{2} = \frac{8}{2} - \frac{15}{2} = -\frac{7}{2}$.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.