Номер 39, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

39.1) Для решения данного интеграла воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 12\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8} - x\right)dx = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6 \cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8} - x\right)dx$
Применим формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{8} - x$:
$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6 \sin\left(2\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\right)dx = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6 \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции: $\int 6 \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)dx = 6 \cdot \frac{-\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)}{-2} + C = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + C$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \bigg|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2 \cdot \frac{3\pi}{8}\right) - 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)$
$= 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right) - 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = 3\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 3\cos(0)$
Так как $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$3 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$
Ответ: $-3$

2) Для решения этого интеграла воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left(\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)dx$
Применим формулу, где $\alpha = x + \frac{\pi}{3}$:
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)dx$
Найдем первообразную: $\int \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) + C$.
Вычислим определенный интеграл:
$\frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) \bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right)$
$= \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin(\pi)$
Так как $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\pi) = 0$, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{4}$

3) Для решения интеграла воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sin 2x dx$
Применим формулу, где $\alpha = x$ и $\beta = 2x$:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos(x - 2x) - \cos(x + 2x))dx = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos(-x) - \cos(3x))dx$
Так как $\cos(-x) = \cos x$, интеграл принимает вид:
$\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x - \cos(3x))dx$
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left(\sin x - \frac{1}{3}\sin(3x)\right) \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \left(\sin\pi - \frac{1}{3}\sin(3\pi)\right) - \left(\sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{2}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left(0 - \frac{1}{3} \cdot 0\right) - \left(1 - \frac{1}{3} \cdot (-1)\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 0 - \left(1 + \frac{1}{3}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

4) Для решения интеграла воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \cos 2x dx$
Применим формулу, где $\alpha = x$ и $\beta = 2x$:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos(x - 2x) + \cos(x + 2x))dx = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos(-x) + \cos(3x))dx$
Так как $\cos(-x) = \cos x$, интеграл принимает вид:
$\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x + \cos(3x))dx$
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left(\sin x + \frac{1}{3}\sin(3x)\right) \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \left(\sin\pi + \frac{1}{3}\sin(3\pi)\right) - \left(\sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{2}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left(0 + \frac{1}{3} \cdot 0\right) - \left(1 + \frac{1}{3} \cdot (-1)\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 0 - \left(1 - \frac{1}{3}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$