Номер 34, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 2x$, поэтому подынтегральное выражение упрощается до $\cos(x + 2x) = \cos(3x)$.

Теперь интеграл принимает вид: $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \cos(3x) dx$.

Первообразная для функции $\cos(3x)$ равна $\frac{1}{3}\sin(3x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\left[ \frac{1}{3}\sin(3x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{18}} = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{18}) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3}\sin(0)$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} (\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$, поэтому подынтегральное выражение упрощается до $\sin(x + 3x) = \sin(4x)$.

Теперь интеграл принимает вид: $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx$.

Первообразная для функции $\sin(4x)$ равна $-\frac{1}{4}\cos(4x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ -\frac{1}{4}\cos(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{16}} = \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{16})\right) - \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4}\cos(0)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$-\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

3) Вычислим интеграл $\int_{0,3}^{1,5} (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции. Для этого представим ее в виде $f(x) = \frac{1}{2} + 3x^{-2}$.

Первообразная $F(x) = \int (\frac{1}{2} + 3x^{-2}) dx = \frac{1}{2}x + 3\frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{2}x - \frac{3}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=0,3$ и $b=1,5$:

$\left[ \frac{1}{2}x - \frac{3}{x} \right]_{0,3}^{1,5} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1,5 - \frac{3}{1,5}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0,3 - \frac{3}{0,3}\right) = (0,75 - 2) - (0,15 - 10) = -1,25 - (-9,85) = -1,25 + 9,85 = 8,6$.

Ответ: $8,6$

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (x - \frac{4}{x^2}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции. Для этого представим ее в виде $f(x) = x - 4x^{-2}$.

Первообразная $F(x) = \int (x - 4x^{-2}) dx = \frac{x^2}{2} - 4\frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=-2$ и $b=-1$:

$\left[ \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x} \right]_{-2}^{-1} = \left(\frac{(-1)^2}{2} + \frac{4}{-1}\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + \frac{4}{-2}\right) = \left(\frac{1}{2} - 4\right) - \left(\frac{4}{2} - 2\right) = \left(-\frac{7}{2}\right) - (2 - 2) = -3,5 - 0 = -3,5$.

Ответ: $-3,5$