Номер 29, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Даны функция $f(x) = 4,5 - 0,5x^2$, точка касания $x_0 = 1$ и вертикальная прямая $x = -2$.

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной касательной к графику функции в точке $x_0$, прямой $x=-2$ и осью Ox. Фигура представляет собой трапецию, ограниченную касательной, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=1$ и $x=a=-2$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$. Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(1) = 4,5 - 0,5 \cdot 1^2 = 4,5 - 0,5 = 4$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4,5 - 0,5x^2)' = -0,5 \cdot 2x = -x$.

Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(1) = -1$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 4 + (-1)(x - 1) = 4 - x + 1 = 5 - x$.

Итак, уравнение касательной: $y = 5 - x$.

2. Вычислим площадь искомой фигуры. Фигура ограничена прямыми $y = 5 - x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$. Площадь этой трапеции можно найти с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^{1} (5 - x) dx$.

Вычисляем интеграл:
$S = \left( 5x - \frac{x^2}{2} \right) \Big|_{-2}^{1} = \left( 5 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 5 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2} \right) = \left( 5 - 0,5 \right) - \left( -10 - \frac{4}{2} \right) = 4,5 - (-10 - 2) = 4,5 - (-12) = 4,5 + 12 = 16,5$.

Альтернативный способ — по формуле площади трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$: $S = \frac{a+b}{2}h$. Основаниями трапеции являются отрезки вертикальных прямых $x=-2$ и $x=1$ от оси Ox до касательной. Высота — это расстояние между этими прямыми.
Основание $a = y(-2) = 5 - (-2) = 7$.
Основание $b = y(1) = 5 - 1 = 4$.
Высота $h = 1 - (-2) = 3$.
$S = \frac{7+4}{2} \cdot 3 = \frac{11}{2} \cdot 3 = 5,5 \cdot 3 = 16,5$.
Результаты совпадают.

Ответ: 16,5

2) Даны функция $f(x) = 8 - 0,5x^2$, точка касания $x_0 = -2$ и вертикальная прямая $x = 1$.

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной касательной к графику функции в точке $x_0$, прямой $x=1$ и осью Ox. Фигура представляет собой трапецию, ограниченную касательной, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=-2$ и $x=a=1$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0 = -2$. Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(-2) = 8 - 0,5 \cdot (-2)^2 = 8 - 0,5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Производная функции $f(x)$ (найдена в предыдущем пункте):
$f'(x) = -x$.

Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(-2) = -(-2) = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 6 + 2(x - (-2)) = 6 + 2(x + 2) = 6 + 2x + 4 = 2x + 10$.

Итак, уравнение касательной: $y = 2x + 10$.

2. Вычислим площадь искомой фигуры. Фигура ограничена прямыми $y = 2x + 10$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$. Площадь этой трапеции можно найти с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^{1} (2x + 10) dx$.

Вычисляем интеграл:
$S = \left( 2\frac{x^2}{2} + 10x \right) \Big|_{-2}^{1} = (x^2 + 10x) \Big|_{-2}^{1} = (1^2 + 10 \cdot 1) - ((-2)^2 + 10 \cdot (-2)) = (1 + 10) - (4 - 20) = 11 - (-16) = 11 + 16 = 27$.

Альтернативный способ — по формуле площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$.
Основания трапеции: $a = y(-2) = 2(-2) + 10 = 6$ и $b = y(1) = 2(1) + 10 = 12$.
Высота: $h = 1 - (-2) = 3$.
$S = \frac{6+12}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Результаты совпадают.

Ответ: 27