Номер 24, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Фигура ограничена кривыми $y = -x^3$, $x = -3$ и $y = 0$ (ось Ox). Для нахождения пределов интегрирования найдем точку пересечения кривой $y = -x^3$ с осью Ox: $-x^3 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[-3, 0]$. На этом отрезке функция $y = -x^3$ неотрицательна ($x \le 0 \implies x^3 \le 0 \implies -x^3 \ge 0$), поэтому кривая находится выше оси Ox. Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{-3}^{0} (-x^3) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-3}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{81}{4}\right) = \frac{81}{4} = 20.25$.
Ответ: $S = \frac{81}{4}$.

2) Фигура ограничена кривыми $y = -2x^3$, $x = -2$ и $y = 0$. Точка пересечения кривой $y = -2x^3$ с осью Ox: $-2x^3 = 0$, откуда $x=0$. Интервал интегрирования — $[-2, 0]$. На этом интервале функция $y = -2x^3$ неотрицательна, так как $x \le 0$. Площадь вычисляется интегралом:
$S = \int_{-2}^{0} (-2x^3) \, dx = \left[ -2 \cdot \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} = \left[ -\frac{x^4}{2} \right]_{-2}^{0} = \left(-\frac{0^4}{2}\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{16}{2}\right) = 8$.
Ответ: $S = 8$.

3) Фигура ограничена кривыми $y = 1 - x^3$, $x = 0$ и $y = 0$. Найдем точку пересечения кривой $y = 1 - x^3$ с осью Ox: $1 - x^3 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x=1$. Интервал интегрирования — $[0, 1]$. На этом интервале функция $y = 1 - x^3$ неотрицательна. Площадь равна:
$S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) \, dx = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(0 - \frac{0^4}{4}\right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $S = \frac{3}{4}$.

4) Фигура ограничена параболой $y = 1 - x^2$, прямой $x = -1$ и осью $y = 0$. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox: $1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1$. Фигура ограничена кривой и осью Ox на отрезке $[-1, 1]$. На этом интервале $y = 1-x^2 \ge 0$. Площадь равна:
$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

5) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 + 2x + 3$, осью $y = 0$ и прямыми $x = 0$, $x = 2$. Чтобы определить знак функции на интервале $[0, 2]$, найдем ее корни: $-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0$. Корни $x=-1$ и $x=3$. Так как ветви параболы направлены вниз, на интервале $(-1, 3)$ функция положительна. Отрезок $[0, 2]$ входит в этот интервал, поэтому $y \ge 0$. Площадь вычисляется интегралом:
$S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + 2^2 + 3 \cdot 2\right) - 0 = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
Ответ: $S = \frac{22}{3}$.

6) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 2x + 2$, осью $y = 0$ и прямыми $x = -1$, $x = 0$. Найдем корни функции: $-x^2 - 2x + 2 = 0 \implies x^2 + 2x - 2 = 0$. По формуле для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Интервал интегрирования $[-1, 0]$ лежит между корнями $(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})$, поэтому на нем $y \ge 0$. Площадь равна:
$S = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2(-1)\right) = - \left(\frac{1}{3} - 1 - 2\right) = - \left(\frac{1}{3} - 3\right) = \frac{8}{3}$.
Ответ: $S = \frac{8}{3}$.

7) Фигура ограничена кривыми $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$ и прямой $x = 4$. Найдем точку пересечения кривых для определения второго предела интегрирования: $\frac{16}{x^2} = 2x \implies 16 = 2x^3 \implies x^3 = 8 \implies x=2$. Интервал интегрирования — $[2, 4]$. Сравним функции на этом интервале, выбрав пробную точку $x=3$: $y_1 = \frac{16}{3^2} = \frac{16}{9}$, $y_2 = 2 \cdot 3 = 6$. Так как $6 > \frac{16}{9}$, график $y=2x$ лежит выше графика $y=\frac{16}{x^2}$. Площадь равна интегралу от разности функций:
$S = \int_{2}^{4} \left(2x - \frac{16}{x^2}\right) \, dx = \left[ x^2 - 16\frac{x^{-1}}{-1} \right]_{2}^{4} = \left[ x^2 + \frac{16}{x} \right]_{2}^{4} = \left(4^2 + \frac{16}{4}\right) - \left(2^2 + \frac{16}{2}\right) = (16+4) - (4+8) = 20 - 12 = 8$.
Ответ: $S = 8$.

8) Фигура ограничена кривыми $y = -\frac{3}{x^3}$, $y = -3x$ и прямой $x = -4$. Найдем точки пересечения кривых: $-\frac{3}{x^3} = -3x \implies 1 = x^4 \implies x = \pm 1$. Область интегрирования ограничена прямыми $x=-4$ и $x=-1$. На интервале $[-4, -1]$ сравним функции. Возьмем пробную точку $x=-2$: $y_1 = -\frac{3}{(-2)^3} = \frac{3}{8}$, $y_2 = -3(-2) = 6$. Так как $6 > \frac{3}{8}$, прямая $y=-3x$ проходит выше кривой $y=-\frac{3}{x^3}$. Площадь равна интегралу от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-4}^{-1} \left(-3x - \left(-\frac{3}{x^3}\right)\right) \, dx = \int_{-4}^{-1} \left(-3x + 3x^{-3}\right) \, dx = \left[ -\frac{3x^2}{2} + \frac{3x^{-2}}{-2} \right]_{-4}^{-1} = \left[ -\frac{3x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} \right]_{-4}^{-1}$
$= \left(-\frac{3(-1)^2}{2} - \frac{3}{2(-1)^2}\right) - \left(-\frac{3(-4)^2}{2} - \frac{3}{2(-4)^2}\right) = \left(-\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{3 \cdot 16}{2} - \frac{3}{2 \cdot 16}\right) = -3 - \left(-24 - \frac{3}{32}\right) = 21 + \frac{3}{32} = \frac{672+3}{32} = \frac{675}{32}$.
Ответ: $S = \frac{675}{32}$.