Вопросы, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Қисықсызықты трапецияның геометрия курсынан белгілі трапециядан қандай айырмашылығы бар?

Трапеция, известная из школьного курса геометрии, и криволинейная трапеция — это разные геометрические фигуры, имеющие ключевые различия.

Обычная (или прямолинейная) трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (они называются основаниями), а две другие стороны не параллельны (боковые стороны). Важно отметить, что все четыре стороны такой трапеции являются отрезками прямых линий.

Криволинейная трапеция — это плоская фигура в декартовой системе координат, ограниченная:

1. Осью абсцисс ($Ox$).

2. Двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

3. Графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$.

Таким образом, основное отличие заключается в характере границ фигуры. У обычной трапеции все границы — это отрезки прямых. У криволинейной трапеции три границы являются отрезками прямых (два на вертикальных линиях и один на оси $Ox$), а четвертая, верхняя граница, является кривой линией, заданной функцией $y=f(x)$.

Ответ: Основное отличие в том, что у обычной трапеции все стороны являются отрезками прямых, в то время как у криволинейной трапеции одна из границ — это кривая линия (график функции).

2. Қисықсызықты трапецияның ауданын есептеу формуласын қорытып шығару кезінде қандай белгілі ұғымдар қолданылды?

Вывод формулы для вычисления площади криволинейной трапеции является одним из фундаментальных приложений интегрального исчисления. При её выводе используются следующие основные понятия и методы:

1.Разбиение отрезка и аппроксимация. Отрезок $[a, b]$ на оси $Ox$ разбивается на $n$ малых частей (подотрезков). На каждом таком подотрезке криволинейная трапеция аппроксимируется (приближенно заменяется) прямоугольником. Высота каждого прямоугольника обычно выбирается равной значению функции $f(x)$ в одной из точек (левой, правой или произвольной) соответствующего подотрезка.

2.Интегральная сумма (сумма Римана). Площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей всех построенных прямоугольников. Эта сумма называется интегральной суммой: $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i$, где $\Delta x_i$ — длина $i$-го подотрезка, а $f(x_i^*)$ — высота прямоугольника.

3.Предел. Чтобы получить точное значение площади, необходимо сделать разбиение бесконечно мелким. Для этого вычисляется предел интегральной суммы при условии, что число прямоугольников $n$ стремится к бесконечности ($n \to \infty$), а длина наибольшего подотрезка стремится к нулю.

4.Определённый интеграл. Этот предел по определению является определённым интегралом функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$. Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна: $S = \lim_{n \to \infty} S_n = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

5.Первообразная и формула Ньютона-Лейбница. Для практического вычисления определённого интеграла используется основная теорема анализа — формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ (то есть $F'(x) = f(x)$).

Ответ: При выводе формулы используются понятия разбиения отрезка, интегральной суммы, предела, определённого интеграла, первообразной и формулы Ньютона-Лейбница.

3. Трапеция ауданын қисықсызықты трапецияның ауданын есептеу формуласы арқылы табуға бола ма?

Да, площадь обычной (прямолинейной) трапеции можно найти с помощью формулы для вычисления площади криволинейной трапеции. Это возможно потому, что обычная трапеция является частным случаем криволинейной трапеции, у которой верхняя "кривая" граница на самом деле является отрезком прямой, то есть графиком линейной функции $y = kx+c$.

Продемонстрируем это. Пусть дана обычная трапеция с основаниями $b_1$ и $b_2$ и высотой $h$. Разместим её в системе координат так, чтобы её высота лежала на оси $Ox$ от $x=0$ до $x=h$. Тогда нижнее основание будет лежать на оси $Ox$, но для общности рассмотрим трапецию, у которой нижнее основание параллельно оси $Ox$. Верхняя сторона будет отрезком прямой, соединяющим точки $(0, b_1)$ и $(h, b_2)$.

Уравнение этой прямой (линейной функции) можно найти как $f(x) = kx + c$. Угловой коэффициент $k = \frac{b_2 - b_1}{h}$, а начальное значение $c = f(0) = b_1$. Таким образом, функция, задающая верхнюю сторону трапеции: $f(x) = \frac{b_2 - b_1}{h}x + b_1$.

Теперь найдем площадь этой фигуры как площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x=0$, $x=h$, осью $Ox$ и графиком $y=f(x)$, с помощью интеграла: $S = \int_{0}^{h} \left(\frac{b_2 - b_1}{h}x + b_1\right) dx$.

Для вычисления интеграла найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции: $F(x) = \int \left(\frac{b_2 - b_1}{h}x + b_1\right) dx = \frac{b_2 - b_1}{h} \cdot \frac{x^2}{2} + b_1 x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(h) - F(0)$: $S = \left(\frac{b_2 - b_1}{h} \cdot \frac{h^2}{2} + b_1 h\right) - \left(\frac{b_2 - b_1}{h} \cdot \frac{0^2}{2} + b_1 \cdot 0\right)$ $S = \frac{(b_2 - b_1)h}{2} + b_1 h = \frac{b_2h - b_1h + 2b_1h}{2} = \frac{b_2h + b_1h}{2}$.

В итоге мы получаем: $S = \frac{b_1 + b_2}{2} h$.

Это в точности совпадает с классической формулой площади трапеции.

Ответ: Да, можно. Обычная трапеция является частным случаем криволинейной, где верхняя граница задается линейной функцией. Применение формулы площади криволинейной трапеции (интеграла) к этой линейной функции приводит к стандартной геометрической формуле площади трапеции.