Номер 16, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо показать, что производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x) = -\frac{1}{4}\cos{2x} - \frac{1}{2}\cos{x} + \pi$.
Используя правила дифференцирования и производную косинуса $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$, получаем:
$F'(x) = \left(-\frac{1}{4}\cos{2x} - \frac{1}{2}\cos{x} + \pi\right)' = -\frac{1}{4}(-\sin{2x} \cdot 2) - \frac{1}{2}(-\sin{x}) + 0 = \frac{2}{4}\sin{2x} + \frac{1}{2}\sin{x} = \frac{1}{2}\sin{2x} + \frac{1}{2}\sin{x}$.
Теперь преобразуем функцию $f(x) = \cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{3x}{2}}$.
Используем тригонометрическую формулу произведения синуса на косинус: $\sin{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
$f(x) = \sin{\frac{3x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{4x}{2} + \sin\frac{2x}{2}\right) = \frac{1}{2}(\sin{2x} + \sin{x})$.
Сравнивая полученные выражения для $F'(x)$ и $f(x)$, видим, что они равны: $F'(x) = f(x)$.
Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Аналогично предыдущему пункту, докажем, что $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x) = -\frac{3}{8}\cos{\frac{4x}{3}} + \frac{3}{4}\cos{\frac{2x}{3}} - 7$.
$F'(x) = \left(-\frac{3}{8}\cos{\frac{4x}{3}} + \frac{3}{4}\cos{\frac{2x}{3}} - 7\right)' = -\frac{3}{8}\left(-\sin{\frac{4x}{3}} \cdot \frac{4}{3}\right) + \frac{3}{4}\left(-\sin{\frac{2x}{3}} \cdot \frac{2}{3}\right) - 0$
$F'(x) = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 3}\sin{\frac{4x}{3}} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3}\sin{\frac{2x}{3}} = \frac{12}{24}\sin{\frac{4x}{3}} - \frac{6}{12}\sin{\frac{2x}{3}} = \frac{1}{2}\sin{\frac{4x}{3}} - \frac{1}{2}\sin{\frac{2x}{3}} = \frac{1}{2}\left(\sin{\frac{4x}{3}} - \sin{\frac{2x}{3}}\right)$.
Теперь преобразуем функцию $f(x) = \sin{\frac{x}{3}}\cos{x}$.
Используем формулу $\sin{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
$f(x) = \sin{\frac{x}{3}}\cos{x} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{x}{3} + x\right) + \sin\left(\frac{x}{3} - x\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{4x}{3} + \sin\left(-\frac{2x}{3}\right)\right)$.
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-u) = -\sin(u)$), получаем:
$f(x) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{4x}{3} - \sin\frac{2x}{3}\right)$.
Сравнивая полученные выражения, видим, что $F'(x) = f(x)$.
Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.