Номер 14, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано: $F'(x) = 4x^3 - 3x^2$ и $F(1) = 3$.

Чтобы найти функцию $F(x)$, необходимо найти первообразную для $F'(x)$, то есть вычислить неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (4x^3 - 3x^2) dx = 4\int x^3 dx - 3\int x^2 dx$.

Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^4 - x^3 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Теперь воспользуемся начальным условием $F(1) = 3$, чтобы найти значение постоянной $C$. Подставим $x=1$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(1) = 1^4 - 1^3 + C = 1 - 1 + C = C$.

Поскольку $F(1) = 3$, то получаем, что $C = 3$.

Следовательно, искомая функция имеет вид:

Ответ: $F(x) = x^4 - x^3 + 3$.

2) Дано: $F'(x) = 5x^4 - 4x^3 - 2x$ и $F(1) = 4$.

Находим первообразную для $F'(x)$ путем интегрирования:

$F(x) = \int (5x^4 - 4x^3 - 2x) dx = 5\int x^4 dx - 4\int x^3 dx - 2\int x dx$.

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^5 - x^4 - x^2 + C$.

Используем условие $F(1) = 4$ для нахождения константы $C$:

$F(1) = 1^5 - 1^4 - 1^2 + C = 1 - 1 - 1 + C = -1 + C$.

Из условия $F(1) = 4$ следует, что $-1 + C = 4$, откуда $C = 5$.

Следовательно, искомая функция:

Ответ: $F(x) = x^5 - x^4 - x^2 + 5$.

3) Дано: $F'(x) = 1 + x + \cos(2x)$ и $F(0) = 1$.

Находим первообразную для $F'(x)$:

$F(x) = \int (1 + x + \cos(2x)) dx = \int 1 dx + \int x dx + \int \cos(2x) dx$.

Используя таблицы основных интегралов, получаем:

$F(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

Используем условие $F(0) = 1$ для нахождения константы $C$:

$F(0) = 0 + \frac{0^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0) + C = 0 + 0 + \frac{1}{2}\sin(0) + C = C$.

Так как $F(0) = 1$, то $C = 1$.

Следовательно, искомая функция:

Ответ: $F(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\sin(2x) + 1$.

4) Дано: $F'(x) = \sin(2x) + 3x^2$ и $F(0) = 2$.

Находим первообразную для $F'(x)$:

$F(x) = \int (\sin(2x) + 3x^2) dx = \int \sin(2x) dx + \int 3x^2 dx$.

Используя таблицы основных интегралов, получаем:

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = -\frac{1}{2}\cos(2x) + x^3 + C$.

Используем условие $F(0) = 2$ для нахождения константы $C$:

$F(0) = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) + 0^3 + C = -\frac{1}{2}\cos(0) + C = -\frac{1}{2} \cdot 1 + C = -\frac{1}{2} + C$.

По условию $F(0) = 2$, значит $-\frac{1}{2} + C = 2$, откуда $C = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Следовательно, искомая функция:

Ответ: $F(x) = x^3 - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2}$.