Номер 9, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = 2x + 3$, $M(1; 2)$

Тапсырманы шешу үшін алдымен берілген $f(x)$ функциясының жалпы алғашқы функциясын табамыз: $F(x) = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$.

Енді $F(x)$ функциясының графигі $M(1; 2)$ нүктесі арқылы өтетінін пайдаланып, $C$ тұрақтысын табамыз. $x=1$ және $F(1)=2$ мәндерін жалпы формулаға қоямыз: $F(1) = 1^2 + 3(1) + C = 2$ $1 + 3 + C = 2$ $4 + C = 2$ $C = 2 - 4 = -2$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = x^2 + 3x - 2$. Бұл функцияның графигі - тармақтары жоғарыға бағытталған парабола.

Графигі:

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$

2) $f(x) = 3x^2 - 2$, $M(2; 4)$

Жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int (3x^2 - 2) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C = x^3 - 2x + C$.

$M(2; 4)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(2) = 2^3 - 2(2) + C = 4$ $8 - 4 + C = 4$ $4 + C = 4$ $C = 0$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = x^3 - 2x$. Бұл кубтық функция.

Графигі:

Ответ: $F(x) = x^3 - 2x$

3) $f(x) = 1 + \sin x$, $M(0; 1)$

Жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int (1 + \sin x) dx = x - \cos x + C$.

$M(0; 1)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(0) = 0 - \cos(0) + C = 1$ $0 - 1 + C = 1$ $C = 2$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = x - \cos x + 2$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = x - \cos x + 2$

4) $f(x) = 3\cos x - 2$, $M(\frac{\pi}{2}; -1)$

Жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int (3\cos x - 2) dx = 3\sin x - 2x + C$.

$M(\frac{\pi}{2}; -1)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) - 2(\frac{\pi}{2}) + C = -1$ $3(1) - \pi + C = -1$ $3 - \pi + C = -1$ $C = \pi - 4$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = 3\sin x - 2x + \pi - 4$

5) $f(x) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2} + x)}$, $M(-\frac{\pi}{4}; -1)$

Алдымен $f(x)$ функциясын ықшамдап аламыз. Келтіру формуласын қолданамыз $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$: $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Енді жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

$M(-\frac{\pi}{4}; -1)$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз: $F(-\frac{\pi}{4}) = \tan(-\frac{\pi}{4}) + C = -1$ $-1 + C = -1$ $C = 0$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = \tan x$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = \tan x$

6) $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2} - x)}$, $M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$

Алдымен $f(x)$ функциясын ықшамдап аламыз. Келтіру формуласын қолданамыз $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$: $f(x) = \frac{1}{(-\sin x)^2} = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Енді жалпы алғашқы функцияны табамыз: $F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

$M(\frac{5\pi}{6}; \sqrt{3})$ нүктесін пайдаланып, $C$ тұрақтысын анықтаймыз. $\cot(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}$: $F(\frac{5\pi}{6}) = -\cot(\frac{5\pi}{6}) + C = \sqrt{3}$ $-(-\sqrt{3}) + C = \sqrt{3}$ $\sqrt{3} + C = \sqrt{3}$ $C = 0$.

Сонымен, ізделінді алғашқы функция: $F(x) = -\cot x$.

Графигі:

Ответ: $F(x) = -\cot x$