Номер 2, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 2\sin x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл $\int 2\sin x \,dx$.
Используя свойство вынесения константы за знак интеграла и табличный интеграл для синуса ($\int \sin x \,dx = -\cos x + C$), получаем:
$F(x) = \int 2\sin x \,dx = 2 \int \sin x \,dx = 2(-\cos x) + C = -2\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Ответ: $F(x) = -2\cos x + C$.

2) Для функции $f(x) = 5\cos x$ первообразная $F(x)$ находится путем вычисления интеграла $\int 5\cos x \,dx$.
Выносим константу и используем табличный интеграл для косинуса ($\int \cos x \,dx = \sin x + C$):
$F(x) = \int 5\cos x \,dx = 5 \int \cos x \,dx = 5\sin x + C$.
Ответ: $F(x) = 5\sin x + C$.

3) Для функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ находим первообразную $F(x)$, используя свойство линейности интеграла: $\int (ag(x) + bh(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx$.
$F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x) \,dx = 3\int \cos x \,dx - 4\int \sin x \,dx$.
Используя табличные интегралы, получаем:
$F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

4) Для функции $f(x) = 5\sin x + 2\cos x$ находим первообразную $F(x)$, используя свойство линейности интеграла.
$F(x) = \int (5\sin x + 2\cos x) \,dx = 5\int \sin x \,dx + 2\int \cos x \,dx$.
Применяя табличные интегралы, имеем:
$F(x) = 5(-\cos x) + 2(\sin x) + C = -5\cos x + 2\sin x + C$.
Ответ: $F(x) = -5\cos x + 2\sin x + C$.

5) Для функции $f(x) = x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}$ сначала преобразуем ее, представив корень в виде степени: $f(x) = x^2 + 3x^{-1/2}$.
Теперь находим первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (x^2 + 3x^{-1/2}) \,dx = \int x^2 \,dx + 3\int x^{-1/2} \,dx$.
$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^3}{3} + 3\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.

6) Для функции $f(x) = x^3 - \frac{4}{\sqrt{x}}$ преобразуем ее к виду $f(x) = x^3 - 4x^{-1/2}$.
Находим первообразную $F(x)$ по правилу интегрирования степенной функции.
$F(x) = \int (x^3 - 4x^{-1/2}) \,dx = \int x^3 \,dx - 4\int x^{-1/2} \,dx$.
$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^4}{4} - 4\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.

7) Для функции $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)$ применяется правило интегрирования сложной функции вида $g(kx+b)$: $\int g(kx+b) \,dx = \frac{1}{k}G(kx+b) + C$, где $G$ — первообразная для $g$.
В данном случае $g(u) = \sin u$, ее первообразная $G(u) = -\cos u$, и $k=3$.
$F(x) = \int \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) \,dx = \frac{1}{3}\left(-\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)\right) + C = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + C$.

8) Для функции $f(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ также используется правило интегрирования сложной функции.
Здесь $g(u) = \cos u$, ее первообразная $G(u) = \sin u$, и $k=2$.
$F(x) = \int \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \,dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.