Номер 18, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = \sqrt{1-x} + 2x$ функциясын зерттеу және әр p үшін $\sqrt{1-x} + 2x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтау

Функцияны зерттеу және $p$ параметріне байланысты теңдеудің түбірлерінің санын анықтау үшін, алдымен $y = \sqrt{1-x} + 2x$ функциясын толық талдайық.

1.Анықталу облысы.
Квадрат түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $1-x \ge 0$, бұдан $x \le 1$.
Сонымен, функцияның анықталу облысы: $D(y) = (-\infty, 1]$.

2.Туындысы.
Функцияның туындысын табамыз:
$y' = (\sqrt{1-x} + 2x)' = ((1-x)^{1/2} + 2x)' = \frac{1}{2}(1-x)^{-1/2} \cdot (-1) + 2 = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}} + 2$.

3.Кризистік нүктелер.
Кризистік нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестіреміз ($y' = 0$) немесе туындының анықталмаған нүктелерін қараймыз.
Туынды $x=1$ нүктесінде анықталмаған, бұл анықталу облысының шекарасы.
$y' = 0 \implies -\frac{1}{2\sqrt{1-x}} + 2 = 0 \implies 2 = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \implies 4\sqrt{1-x} = 1 \implies \sqrt{1-x} = \frac{1}{4}$.
Теңдеудің екі жағын квадраттаймыз: $1-x = \frac{1}{16} \implies x = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
$x = \frac{15}{16}$ нүктесі анықталу облысына тиісті ($ \frac{15}{16} \le 1 $), сондықтан ол кризистік нүкте болып табылады.

4.Монотондылық аралықтары.
Туындының таңбасын $(-\infty, \frac{15}{16})$ және $(\frac{15}{16}, 1)$ аралықтарында тексереміз.
Егер $x < \frac{15}{16}$ болса, онда $1-x > \frac{1}{16}$, одан $\sqrt{1-x} > \frac{1}{4}$, яғни $2\sqrt{1-x} > \frac{1}{2}$ және $\frac{1}{2\sqrt{1-x}} < 2$. Демек, $y' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} > 0$. Бұл функцияның $(-\infty, \frac{15}{16}]$ аралығында өсетінін білдіреді.
Егер $\frac{15}{16} < x < 1$ болса, онда $0 < 1-x < \frac{1}{16}$, одан $0 < \sqrt{1-x} < \frac{1}{4}$, яғни $2\sqrt{1-x} < \frac{1}{2}$ және $\frac{1}{2\sqrt{1-x}} > 2$. Демек, $y' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} < 0$. Бұл функцияның $[\frac{15}{16}, 1]$ аралығында кемитінін білдіреді.

5.Экстремумдар.
$x=\frac{15}{16}$ нүктесінде туынды таңбасын оңнан теріске ауыстырады, сондықтан бұл максимум нүктесі.
Функцияның максимум мәнін есептейік:
$y_{max} = y(\frac{15}{16}) = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} + 2 \cdot \frac{15}{16} = \sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{15}{8} = \frac{1}{4} + \frac{15}{8} = \frac{2+15}{8} = \frac{17}{8}$.

6.Анықталу облысының шекараларындағы функцияның мәндері.
Оң жақ шекарада, $x=1$: $y(1) = \sqrt{1-1} + 2(1) = 2$.
Сол жақ шекарада, $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{1-x} + 2x) = -\infty$, себебі $2x$ мүшесі $\sqrt{1-x}$ мүшесіне қарағанда тезірек кемиді.

Зерттеу нәтижесінде функция $(-\infty, \frac{15}{16}]$ аралығында $-\infty$-ден максимум мәні $\frac{17}{8}$-ге дейін өседі, содан кейін $[\frac{15}{16}, 1]$ аралығында $\frac{17}{8}$-ден $2$-ге дейін кемиді.

Енді $\sqrt{1-x} + 2x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтаймыз. Бұл $y=p$ көлденең түзуінің $y = f(x)$ функциясының графигімен қиылысу нүктелерінің санын табуға тең.
- Егер $p > \frac{17}{8}$ болса, $y=p$ түзуі графиктен жоғары орналасады, қиылысу нүктелері жоқ, сондықтан теңдеудің түбірлері жоқ.
- Егер $p = \frac{17}{8}$ болса, түзу графиктің максимум нүктесінде жанасады, сондықтан бір түбір бар.
- Егер $2 < p < \frac{17}{8}$ болса, түзу графикті екі нүктеде қияды (өсу және кему аралықтарының әрқайсысында бір-бірден), сондықтан екі түбір бар.
- Егер $p = 2$ болса, түзу графикті $x=1$ нүктесінде және өсу аралығындағы тағы бір нүктеде қияды, сондықтан екі түбір бар.
- Егер $p < 2$ болса, түзу графикті тек өсу аралығында бір нүктеде қияды, сондықтан бір түбір бар.

Ответ:
$p > \frac{17}{8}$ болғанда, теңдеудің түбірлері жоқ;
$p = \frac{17}{8}$ болғанда, бір түбір;
$p \in [2, \frac{17}{8})$ болғанда, екі түбір;
$p < 2$ болғанда, бір түбір.

2) $y = \sqrt{x-4} - 7x$ функциясын зерттеу және әр p үшін $\sqrt{x-4} - 7x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтау

$y = \sqrt{x-4} - 7x$ функциясын зерттеп, $\sqrt{x-4} - 7x = p$ теңдеуінің түбірлерінің санын $p$ параметріне байланысты анықтаймыз.

1.Анықталу облысы.
Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $x-4 \ge 0$, бұдан $x \ge 4$.
Анықталу облысы: $D(y) = [4, +\infty)$.

2.Туындысы.
Функцияның туындысын табамыз:
$y' = (\sqrt{x-4} - 7x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-4}} - 7$.

3.Кризистік нүктелер.
Туынды $x=4$ нүктесінде анықталмаған (анықталу облысының шекарасы).
$y' = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-4}} - 7 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-4}} = 7 \implies 1 = 14\sqrt{x-4} \implies \sqrt{x-4} = \frac{1}{14}$.
Екі жағын квадраттаймыз: $x-4 = \frac{1}{196} \implies x = 4 + \frac{1}{196} = \frac{784+1}{196} = \frac{785}{196}$.
$x = \frac{785}{196}$ нүктесі анықталу облысына тиісті, сондықтан ол кризистік нүкте.

4.Монотондылық аралықтары.
Туындының таңбасын $(4, \frac{785}{196})$ және $(\frac{785}{196}, +\infty)$ аралықтарында тексереміз.
Егер $4 < x < \frac{785}{196}$ болса, онда $0 < x-4 < \frac{1}{196}$, одан $0 < \sqrt{x-4} < \frac{1}{14}$ және $\frac{1}{2\sqrt{x-4}} > 7$. Демек, $y' > 0$. Функция $[4, \frac{785}{196}]$ аралығында өседі.
Егер $x > \frac{785}{196}$ болса, онда $x-4 > \frac{1}{196}$, одан $\sqrt{x-4} > \frac{1}{14}$ және $\frac{1}{2\sqrt{x-4}} < 7$. Демек, $y' < 0$. Функция $[\frac{785}{196}, +\infty)$ аралығында кемиді.

5.Экстремумдар.
$x=\frac{785}{196}$ нүктесінде туынды таңбасын оңнан теріске ауыстырады, сондықтан бұл максимум нүктесі.
Максимум мәнін табамыз: $y_{max} = y(\frac{785}{196}) = \sqrt{\frac{785}{196} - 4} - 7 \cdot \frac{785}{196} = \sqrt{\frac{1}{196}} - \frac{5495}{196} = \frac{1}{14} - \frac{5495}{196} = \frac{14 - 5495}{196} = -\frac{5481}{196} = -\frac{783}{28}$.

6.Анықталу облысының шекараларындағы функцияның мәндері.
Сол жақ шекарада, $x=4$: $y(4) = \sqrt{4-4} - 7(4) = -28$.
Оң жақ шекарада, $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x-4} - 7x) = -\infty$.

Зерттеу нәтижесінде функция $[4, \frac{785}{196}]$ аралығында $-28$-ден максимум мәні $-\frac{783}{28}$-ге дейін өседі, содан кейін $[\frac{785}{196}, +\infty)$ аралығында $-\frac{783}{28}$-ден $-\infty$-ге дейін кемиді.

Енді $\sqrt{x-4} - 7x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтаймыз.
- Егер $p > -\frac{783}{28}$ болса, түбірлер жоқ.
- Егер $p = -\frac{783}{28}$ болса, бір түбір бар.
- Егер $-28 < p < -\frac{783}{28}$ болса, екі түбір бар.
- Егер $p = -28$ болса, екі түбір бар ($x=4$ және екіншісі кему аралығында).
- Егер $p < -28$ болса, бір түбір бар.

Ответ:
$p > -\frac{783}{28}$ болғанда, теңдеудің түбірлері жоқ;
$p = -\frac{783}{28}$ болғанда, бір түбір;
$p \in [-28, -\frac{783}{28})$ болғанда, екі түбір;
$p < -28$ болғанда, бір түбір.