Страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения экстремумов функции $y = x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$, сперва упростим ее выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$y = x(x^2 - (\sqrt{3})^2) = x(x^2 - 3) = x^3 - 3x$.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- При $x < -1$, $y' > 0$ (например, $y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$), функция возрастает.
- При $-1 < x < 1$, $y' < 0$ (например, $y'(0) = -3 < 0$), функция убывает.
- При $x > 1$, $y' > 0$ (например, $y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$), функция возрастает.
В точке $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
Вычислим значения экстремумов:
$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
Ответ: $y_{max} = 2$ при $x=-1$, $y_{min} = -2$ при $x=1$.

2) Для нахождения экстремумов функции $y = 2x^3 - 6x + 3$, найдем ее производную.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Производная функции:
$y' = (2x^3 - 6x + 3)' = 6x^2 - 6$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^2 - 6 = 0$
$6(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах.
- При $x < -1$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $-1 < x < 1$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x > 1$, $y' > 0$, функция возрастает.
Следовательно, $x = -1$ — точка максимума, а $x = 1$ — точка минимума.
Вычислим значения экстремумов:
$y_{max} = y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 3 = -2 + 6 + 3 = 7$.
$y_{min} = y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 3 = 2 - 6 + 3 = -1$.
Ответ: $y_{max} = 7$ при $x=-1$, $y_{min} = -1$ при $x=1$.

3) Для нахождения экстремумов функции $y = \frac{1}{x^2 + 4}$, найдем ее производную.
Знаменатель $x^2 + 4$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$), поэтому область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования дроби или степенной функции $y=(x^2+4)^{-1}$:
$y' = -1 \cdot (x^2 + 4)^{-2} \cdot (x^2 + 4)' = \frac{-2x}{(x^2 + 4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{-2x}{(x^2 + 4)^2} = 0$
$-2x = 0$
$x = 0$.
Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной.
Знаменатель $(x^2 + 4)^2$ всегда положителен, поэтому знак $y'$ определяется знаком числителя $-2x$.
- При $x < 0$, $-2x > 0$, следовательно $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x > 0$, $-2x < 0$, следовательно $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
Вычислим значение максимума:
$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2 + 4} = \frac{1}{4}$.
Функция не имеет точек минимума.
Ответ: $y_{max} = \frac{1}{4}$ при $x=0$.

4) Для нахождения экстремумов функции $y = \frac{2}{x^2 + x - 1}$, найдем ее область определения и производную.
Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 + x - 1 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 1 = 0$ равны $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Таким образом, $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\}$.
Найдем производную функции:
$y' = \left( \frac{2}{x^2 + x - 1} \right)' = 2 \cdot (-1) \cdot (x^2 + x - 1)^{-2} \cdot (2x+1) = -\frac{2(2x+1)}{(x^2 + x - 1)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-\frac{2(2x+1)}{(x^2 + x - 1)^2} = 0$
$-2(2x+1) = 0$
$2x+1 = 0$
$x = -\frac{1}{2}$.
Эта точка принадлежит области определения. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2 + x - 1)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака числителя $-2(2x+1)$.
- При $x < -\frac{1}{2}$, $2x+1 < 0$, значит $-2(2x+1) > 0$. $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x > -\frac{1}{2}$, $2x+1 > 0$, значит $-2(2x+1) < 0$. $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = -\frac{1}{2}$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
Вычислим значение максимума:
$y_{max} = y(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{(-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1} = \frac{2}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1} = \frac{2}{\frac{1-2-4}{4}} = \frac{2}{-\frac{5}{4}} = -\frac{8}{5}$.
Функция не имеет точек минимума.
Ответ: $y_{max} = -\frac{8}{5}$ при $x=-\frac{1}{2}$.

1) $y = (x - 6) \cdot (x + 10)^3 \cdot (x + 3)^4$

Для нахождения критических точек функции, а также точек максимума и минимума, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае функция дифференцируема на всей числовой оси.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$:

$y' = ((x - 6))' \cdot (x + 10)^3 (x + 3)^4 + (x - 6) \cdot ((x + 10)^3)' \cdot (x + 3)^4 + (x - 6) \cdot (x + 10)^3 \cdot ((x + 3)^4)'$

$y' = 1 \cdot (x + 10)^3 (x + 3)^4 + (x - 6) \cdot 3(x + 10)^2 \cdot (x + 3)^4 + (x - 6)(x + 10)^3 \cdot 4(x + 3)^3$

Вынесем общие множители $(x + 10)^2$ и $(x + 3)^3$ за скобки:

$y' = (x + 10)^2 (x + 3)^3 [(x + 10)(x + 3) + 3(x - 6)(x + 3) + 4(x - 6)(x + 10)] $

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 + 13x + 30) + (3x^2 - 9x - 54) + (4x^2 + 16x - 240) ] = 8x^2 + 20x - 264 = 4(2x^2 + 5x - 66)$

Таким образом, производная имеет вид:

$y' = 4(x + 10)^2 (x + 3)^3 (2x^2 + 5x - 66)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $y' = 0$.

$4(x + 10)^2 (x + 3)^3 (2x^2 + 5x - 66) = 0$

Корни этого уравнения:

1. $(x + 10)^2 = 0 \Rightarrow x = -10$

2. $(x + 3)^3 = 0 \Rightarrow x = -3$

3. $2x^2 + 5x - 66 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-66) = 25 + 528 = 553$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{553}}{4}$

Итак, мы получили следующие критические точки: $x = -10$, $x = -3$, $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4}$.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось, чтобы определить характер этих точек. Заметим, что множитель $(x+10)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака производной.

• При переходе через точку $x = -10$ знак производной не меняется, так как множитель $(x+10)$ находится в четной степени. Следовательно, $x=-10$ не является точкой экстремума.
• При переходе через точку $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4} \approx -7.1$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.
• При переходе через точку $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «−». Следовательно, это точка максимума.
• При переходе через точку $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4} \approx 4.6$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.

Ответ:
Сындық нүктелер (критические точки): $x = -10$, $x = -3$, $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4}$, $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4}$.
Максимум нүктесі (точка максимума): $x = -3$.
Минимум нүктелері (точки минимума): $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4}$.

2) $y = (x - 9) \cdot (x + 7)^3 \cdot x^4$

Аналогично первому пункту, найдем производную функции и ее нули.

$y' = ((x - 9))' \cdot (x + 7)^3 x^4 + (x - 9) \cdot ((x + 7)^3)' \cdot x^4 + (x - 9) \cdot (x + 7)^3 \cdot (x^4)'$

$y' = 1 \cdot (x + 7)^3 x^4 + (x - 9) \cdot 3(x + 7)^2 \cdot x^4 + (x - 9)(x + 7)^3 \cdot 4x^3$

Вынесем общие множители $x^3$ и $(x + 7)^2$ за скобки:

$y' = x^3(x + 7)^2 [1 \cdot (x + 7)x + 3(x - 9)x + 4(x - 9)(x + 7)] $

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 + 7x) + (3x^2 - 27x) + (4x^2 - 8x - 252) ] = 8x^2 - 28x - 252 = 4(2x^2 - 7x - 63)$

Производная имеет вид:

$y' = 4x^3(x + 7)^2 (2x^2 - 7x - 63)$

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$4x^3(x + 7)^2 (2x^2 - 7x - 63) = 0$

Корни этого уравнения:

1. $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$

2. $(x + 7)^2 = 0 \Rightarrow x = -7$

3. $2x^2 - 7x - 63 = 0$. Решим это квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-63) = 49 + 504 = 553$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{553}}{4}$

Критические точки: $x = -7$, $x = 0$, $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4}$.

Исследуем знак производной. Множитель $(x+7)^2$ не влияет на смену знака.

• При переходе через точку $x = -7$ знак производной не меняется из-за множителя $(x+7)^2$. Следовательно, $x=-7$ не является точкой экстремума.
• При переходе через точку $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4} \approx -4.1$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.
• При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−» (из-за множителя $x^3$). Следовательно, это точка максимума.
• При переходе через точку $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4} \approx 7.6$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.

Ответ:
Сындық нүктелер (критические точки): $x = -7$, $x = 0$, $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4}$, $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4}$.
Максимум нүктесі (точка максимума): $x = 0$.
Минимум нүктелері (точки минимума): $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4}$.

1) $y = \frac{x^3}{1 - x}$

1.Область определения.
Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю.
$1 - x \neq 0 \implies x \neq 1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 - (-x)} = \frac{-x^3}{1 + x}$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = \frac{0^3}{1-0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $\frac{x^3}{1-x} = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.
График проходит через начало координат.

4.Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x = 1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{+0} = +\infty$
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{-0} = -\infty$
- Горизонтальные/наклонные асимптоты:
Степень числителя (3) больше степени знаменателя (1) на 2, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{1-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{-x} = \lim_{x \to +\infty} -x^2 = -\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{1-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{-x} = \lim_{x \to -\infty} -x^2 = -\infty$

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = \left(\frac{x^3}{1-x}\right)' = \frac{(x^3)'(1-x) - x^3(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{3x^2(1-x) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2} = \frac{x^2(3-2x)}{(1-x)^2}$.
Критические точки: $y'=0$ при $x^2(3-2x)=0 \implies x=0$ или $x=1.5$. Производная не определена при $x=1$.
- $x \in (-\infty, 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $x \in (0, 1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $x \in (1, 1.5)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $x \in (1.5, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=1.5$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(1.5) = \frac{(1.5)^3}{1 - 1.5} = \frac{3.375}{-0.5} = -6.75$.
Точка максимума: $(1.5, -6.75)$. В точке $x=0$ экстремума нет.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = \left(\frac{3x^2-2x^3}{(1-x)^2}\right)' = \frac{(6x-6x^2)(1-x)^2 - (3x^2-2x^3) \cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} = \frac{(6x-6x^2)(1-x) + 2(3x^2-2x^3)}{(1-x)^3}$
$y'' = \frac{6x-6x^2-6x^2+6x^3+6x^2-4x^3}{(1-x)^3} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6x}{(1-x)^3} = \frac{2x(x^2 - 3x + 3)}{(1-x)^3}$.
Дискриминант $x^2 - 3x + 3$ равен $D=9-12=-3<0$, так что этот множитель всегда положителен.$y''=0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
- $x \in (0, 1)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).
- $x \in (1, +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак. $y(0)=0$. Точка перегиба: $(0,0)$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Область определения $x \neq 1$. Вертикальная асимптота $x=1$. Локальный максимум в точке $(1.5, -6.75)$. Точка перегиба в $(0,0)$.

2) $y = \frac{x^3}{1 + x^2}$

1.Область определения.
Знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю ($1+x^2 \geq 1$).
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 + (-x)^2} = \frac{-x^3}{1 + x^2} = -y(x)$.
Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $x^3 = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.

4.Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: Нет, так как функция определена на всей числовой оси.
- Наклонная асимптота: Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), значит есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(1+x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{1+x^2} = 1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3}{1+x^2} - x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - x(1+x^2)}{1+x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x}{1+x^2} = 0$.
Наклонная асимптота: $y = x$.

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = \frac{3x^2(1+x^2) - x^3(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3x^2 + 3x^4 - 2x^4}{(1+x^2)^2} = \frac{x^4 + 3x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(1+x^2)^2}$.
$y' \geq 0$ для всех $x$, причем $y'=0$ только при $x=0$.
Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = \left(\frac{x^4+3x^2}{(1+x^2)^2}\right)' = \frac{(4x^3+6x)(1+x^2)^2 - (x^4+3x^2) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{(4x^3+6x)(1+x^2) - 4x(x^4+3x^2)}{(1+x^2)^3}$
$y'' = \frac{4x^3+4x^5+6x+6x^3 - 4x^5-12x^3}{(1+x^2)^3} = \frac{-2x^3+6x}{(1+x^2)^3} = \frac{-2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$.
$y''=0$ при $x=0, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (-\sqrt{3}, 0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (0, \sqrt{3})$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точки перегиба: $x=0, x=\pm\sqrt{3}$.
$y(0)=0$, $y(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{1+(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.3$, $y(-\sqrt{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx -1.3$.
Точки перегиба: $(0,0)$, $(\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{4})$, $(-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{4})$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Наклонная асимптота $y=x$. Функция возрастающая. Точки перегиба $(0,0)$, $(\sqrt{3}, 3\sqrt{3}/4)$, $(-\sqrt{3}, -3\sqrt{3}/4)$.

3) $y = \frac{x^3}{1 - x^2}$

1.Область определения.
$1 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 - (-x)^2} = \frac{-x^3}{1 - x^2} = -y(x)$.
Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $x^3 = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.

4.Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x = 1$ и $x = -1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{1}{+0} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{-1}{-0} = +\infty$, $\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$.
- Наклонная асимптота: $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(1-x^2)} = -1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3}{1-x^2} + x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x - x^3}{1-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1-x^2} = 0$.
Наклонная асимптота: $y = -x$.

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = \frac{3x^2(1-x^2) - x^3(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2 - x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{x^2(3-x^2)}{(1-x^2)^2}$.
$y'=0$ при $x=0$ или $x=\pm\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$: $y' < 0$, убывает.
- $x \in (-\sqrt{3}, -1)$: $y' > 0$, возрастает.
- $x \in (-1, 1)$: $y' > 0$, возрастает.
- $x \in (1, \sqrt{3})$: $y' > 0$, возрастает.
- $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$: $y' < 0$, убывает.
$x=-\sqrt{3}$ - точка минимума, $y(-\sqrt{3}) = \frac{-3\sqrt{3}}{1-3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6$.
$x=\sqrt{3}$ - точка максимума, $y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{1-3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.6$.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = \frac{(6x-4x^3)(1-x^2)^2 - (3x^2-x^4) \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{(6x-4x^3)(1-x^2) + 4x(3x^2-x^4)}{(1-x^2)^3} = \frac{2x^3+6x}{(1-x^2)^3} = \frac{2x(x^2+3)}{(1-x^2)^3}$.
$y''=0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty, -1)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
- $x \in (-1, 0)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
- $x \in (0, 1)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
- $x \in (1, +\infty)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
Точка перегиба: $(0,0)$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, наклонная $y=-x$. Минимум в $(-\sqrt{3}, 3\sqrt{3}/2)$, максимум в $(\sqrt{3}, -3\sqrt{3}/2)$. Точка перегиба $(0,0)$.

4) $y = \frac{x^3 - 2x}{1 - x^2}$

1.Область определения.
$1 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)}{1 - (-x)^2} = \frac{-x^3 + 2x}{1 - x^2} = -\frac{x^3 - 2x}{1 - x^2} = -y(x)$.
Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $x^3 - 2x = 0 \implies x(x^2-2) = 0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{2}$.
Точки пересечения: $(0,0)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(-\sqrt{2}, 0)$.

4.Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x = 1$ и $x = -1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3-2x}{1-x^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-2x}{1-x^2} = \frac{-1}{-0} = +\infty$.
В силу нечетности: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -1^+} y(x) = +\infty$.
- Наклонная асимптота: $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3-2x}{x(1-x^2)} = -1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3-2x}{1-x^2} + x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3-2x+x-x^3}{1-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x}{1-x^2} = 0$.
Наклонная асимптота: $y = -x$.

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = \frac{(3x^2-2)(1-x^2) - (x^3-2x)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2-3x^4-2+2x^2 + 2x^4-4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{-x^4+x^2-2}{(1-x^2)^2} = -\frac{x^4-x^2+2}{(1-x^2)^2}$.
В числителе $x^4-x^2+2 > 0$ для всех $x$ (т.к. для $t=x^2$ имеем $t^2-t+2$ с $D<0$).
Значит, $y' < 0$ на всей области определения. Функция всегда убывает. Экстремумов нет.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y = -x - \frac{x}{1-x^2} = -x + \frac{x}{x^2-1}$.
$y'' = \left(-x + \frac{x}{x^2-1}\right)'' = \left(\frac{x}{x^2-1}\right)'' = \left(\frac{1(x^2-1)-x(2x)}{(x^2-1)^2}\right)' = \left(\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}\right)' $
$= \frac{-2x(x^2-1)^2 - (-x^2-1) \cdot 2(x^2-1)(2x)}{(x^2-1)^4} = \frac{-2x(x^2-1)+4x(x^2+1)}{(x^2-1)^3} = \frac{-2x^3+2x+4x^3+4x}{(x^2-1)^3} = \frac{2x^3+6x}{(x^2-1)^3} = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.
$y''=0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty, -1)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
- $x \in (-1, 0)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
- $x \in (0, 1)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
- $x \in (1, +\infty)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
Точка перегиба: $(0,0)$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, наклонная $y=-x$. Экстремумов нет, функция убывающая. Пересечение с OX в точках $x=0, \pm\sqrt{2}$. Точка перегиба $(0,0)$.

1) Дана функция $y = \frac{x^2}{1-x}$.
Вертикальные асимптоты.
Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва функции. Знаменатель дроби обращается в ноль при $1-x=0$, то есть при $x=1$.
Найдем односторонние пределы функции при $x \to 1$:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{1-x} = \frac{1^2}{1 - (1-0)} = \frac{1}{+0} = +\infty$
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{1-x} = \frac{1^2}{1 - (1+0)} = \frac{1}{-0} = -\infty$
Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Ищем асимптоту в виде прямой $y = kx+b$.
Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому у графика функции есть наклонная асимптота и нет горизонтальной.
Коэффициенты $k$ и $b$ находим по формулам:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x(1-x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{\frac{1}{x}-1} = \frac{1}{-1} = -1$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2}{1-x} - (-1)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2}{1-x} + x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + x(1-x)}{1-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+x-x^2}{1-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1-x} = -1$
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = -x-1$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=1$; наклонная асимптота: $y = -x - 1$.

2) Дана функция $y = \frac{3-x^2}{x+1}$.
Вертикальные асимптоты.
Знаменатель обращается в ноль при $x+1=0$, то есть при $x=-1$. Числитель в этой точке $3 - (-1)^2 = 2 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x^2}{x(x+1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x^2}{x^2+x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{3}{x^2}-1}{1+\frac{1}{x}} = -1$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{3-x^2}{x+1} - (-1)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{3-x^2+x(x+1)}{x+1}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x^2+x^2+x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+3}{x+1} = 1$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = -x+1$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-1$; наклонная асимптота: $y = -x + 1$.

3) Дана функция $y = \frac{2x^3 - 3x}{x^2 - 1}$.
Вертикальные асимптоты.
Знаменатель $x^2-1=0$ при $x=1$ и $x=-1$.
Проверим значения числителя в этих точках:
При $x=1$: $2(1)^3 - 3(1) = -1 \neq 0$.
При $x=-1$: $2(-1)^3 - 3(-1) = -2+3 = 1 \neq 0$.
Так как числитель не равен нулю, прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), поэтому есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x}{x(x^2-1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x}{x^3-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}} = 2$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^3-3x}{x^2-1} - 2x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x-2x(x^2-1)}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3-3x-2x^3+2x}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x}{x^2-1} = 0$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = 2x$.
Ответ: Вертикальные асимптоты: $x=1$, $x=-1$; наклонная асимптота: $y = 2x$.

4) Дана функция $y = \frac{x^3 + 2x^2 - 5}{4 - x^2}$.
Вертикальные асимптоты.
Знаменатель $4-x^2=0$ при $x=2$ и $x=-2$.
Проверим значения числителя в этих точках:
При $x=2$: $2^3 + 2(2^2) - 5 = 8+8-5 = 11 \neq 0$.
При $x=-2$: $(-2)^3 + 2(-2)^2 - 5 = -8+8-5 = -5 \neq 0$.
Следовательно, прямые $x=2$ и $x=-2$ являются вертикальными асимптотами.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), поэтому есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5}{x(4-x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5}{4x-x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^3}}{\frac{4}{x^2}-1} = -1$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3+2x^2-5}{4-x^2} - (-1)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5+x(4-x^2)}{4-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+2x^2-5+4x-x^3}{4-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2+4x-5}{4-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}{\frac{4}{x^2}-1} = -2$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = -x-2$.
Ответ: Вертикальные асимптоты: $x=2$, $x=-2$; наклонная асимптота: $y = -x - 2$.

1) $y = \sqrt{1-x} + 2x$ функциясын зерттеу және әр p үшін $\sqrt{1-x} + 2x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтау

Функцияны зерттеу және $p$ параметріне байланысты теңдеудің түбірлерінің санын анықтау үшін, алдымен $y = \sqrt{1-x} + 2x$ функциясын толық талдайық.

1.Анықталу облысы.
Квадрат түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $1-x \ge 0$, бұдан $x \le 1$.
Сонымен, функцияның анықталу облысы: $D(y) = (-\infty, 1]$.

2.Туындысы.
Функцияның туындысын табамыз:
$y' = (\sqrt{1-x} + 2x)' = ((1-x)^{1/2} + 2x)' = \frac{1}{2}(1-x)^{-1/2} \cdot (-1) + 2 = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}} + 2$.

3.Кризистік нүктелер.
Кризистік нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестіреміз ($y' = 0$) немесе туындының анықталмаған нүктелерін қараймыз.
Туынды $x=1$ нүктесінде анықталмаған, бұл анықталу облысының шекарасы.
$y' = 0 \implies -\frac{1}{2\sqrt{1-x}} + 2 = 0 \implies 2 = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \implies 4\sqrt{1-x} = 1 \implies \sqrt{1-x} = \frac{1}{4}$.
Теңдеудің екі жағын квадраттаймыз: $1-x = \frac{1}{16} \implies x = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
$x = \frac{15}{16}$ нүктесі анықталу облысына тиісті ($ \frac{15}{16} \le 1 $), сондықтан ол кризистік нүкте болып табылады.

4.Монотондылық аралықтары.
Туындының таңбасын $(-\infty, \frac{15}{16})$ және $(\frac{15}{16}, 1)$ аралықтарында тексереміз.
Егер $x < \frac{15}{16}$ болса, онда $1-x > \frac{1}{16}$, одан $\sqrt{1-x} > \frac{1}{4}$, яғни $2\sqrt{1-x} > \frac{1}{2}$ және $\frac{1}{2\sqrt{1-x}} < 2$. Демек, $y' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} > 0$. Бұл функцияның $(-\infty, \frac{15}{16}]$ аралығында өсетінін білдіреді.
Егер $\frac{15}{16} < x < 1$ болса, онда $0 < 1-x < \frac{1}{16}$, одан $0 < \sqrt{1-x} < \frac{1}{4}$, яғни $2\sqrt{1-x} < \frac{1}{2}$ және $\frac{1}{2\sqrt{1-x}} > 2$. Демек, $y' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} < 0$. Бұл функцияның $[\frac{15}{16}, 1]$ аралығында кемитінін білдіреді.

5.Экстремумдар.
$x=\frac{15}{16}$ нүктесінде туынды таңбасын оңнан теріске ауыстырады, сондықтан бұл максимум нүктесі.
Функцияның максимум мәнін есептейік:
$y_{max} = y(\frac{15}{16}) = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} + 2 \cdot \frac{15}{16} = \sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{15}{8} = \frac{1}{4} + \frac{15}{8} = \frac{2+15}{8} = \frac{17}{8}$.

6.Анықталу облысының шекараларындағы функцияның мәндері.
Оң жақ шекарада, $x=1$: $y(1) = \sqrt{1-1} + 2(1) = 2$.
Сол жақ шекарада, $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{1-x} + 2x) = -\infty$, себебі $2x$ мүшесі $\sqrt{1-x}$ мүшесіне қарағанда тезірек кемиді.

Зерттеу нәтижесінде функция $(-\infty, \frac{15}{16}]$ аралығында $-\infty$-ден максимум мәні $\frac{17}{8}$-ге дейін өседі, содан кейін $[\frac{15}{16}, 1]$ аралығында $\frac{17}{8}$-ден $2$-ге дейін кемиді.

Енді $\sqrt{1-x} + 2x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтаймыз. Бұл $y=p$ көлденең түзуінің $y = f(x)$ функциясының графигімен қиылысу нүктелерінің санын табуға тең.
- Егер $p > \frac{17}{8}$ болса, $y=p$ түзуі графиктен жоғары орналасады, қиылысу нүктелері жоқ, сондықтан теңдеудің түбірлері жоқ.
- Егер $p = \frac{17}{8}$ болса, түзу графиктің максимум нүктесінде жанасады, сондықтан бір түбір бар.
- Егер $2 < p < \frac{17}{8}$ болса, түзу графикті екі нүктеде қияды (өсу және кему аралықтарының әрқайсысында бір-бірден), сондықтан екі түбір бар.
- Егер $p = 2$ болса, түзу графикті $x=1$ нүктесінде және өсу аралығындағы тағы бір нүктеде қияды, сондықтан екі түбір бар.
- Егер $p < 2$ болса, түзу графикті тек өсу аралығында бір нүктеде қияды, сондықтан бір түбір бар.

Ответ:
$p > \frac{17}{8}$ болғанда, теңдеудің түбірлері жоқ;
$p = \frac{17}{8}$ болғанда, бір түбір;
$p \in [2, \frac{17}{8})$ болғанда, екі түбір;
$p < 2$ болғанда, бір түбір.

2) $y = \sqrt{x-4} - 7x$ функциясын зерттеу және әр p үшін $\sqrt{x-4} - 7x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтау

$y = \sqrt{x-4} - 7x$ функциясын зерттеп, $\sqrt{x-4} - 7x = p$ теңдеуінің түбірлерінің санын $p$ параметріне байланысты анықтаймыз.

1.Анықталу облысы.
Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $x-4 \ge 0$, бұдан $x \ge 4$.
Анықталу облысы: $D(y) = [4, +\infty)$.

2.Туындысы.
Функцияның туындысын табамыз:
$y' = (\sqrt{x-4} - 7x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-4}} - 7$.

3.Кризистік нүктелер.
Туынды $x=4$ нүктесінде анықталмаған (анықталу облысының шекарасы).
$y' = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-4}} - 7 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-4}} = 7 \implies 1 = 14\sqrt{x-4} \implies \sqrt{x-4} = \frac{1}{14}$.
Екі жағын квадраттаймыз: $x-4 = \frac{1}{196} \implies x = 4 + \frac{1}{196} = \frac{784+1}{196} = \frac{785}{196}$.
$x = \frac{785}{196}$ нүктесі анықталу облысына тиісті, сондықтан ол кризистік нүкте.

4.Монотондылық аралықтары.
Туындының таңбасын $(4, \frac{785}{196})$ және $(\frac{785}{196}, +\infty)$ аралықтарында тексереміз.
Егер $4 < x < \frac{785}{196}$ болса, онда $0 < x-4 < \frac{1}{196}$, одан $0 < \sqrt{x-4} < \frac{1}{14}$ және $\frac{1}{2\sqrt{x-4}} > 7$. Демек, $y' > 0$. Функция $[4, \frac{785}{196}]$ аралығында өседі.
Егер $x > \frac{785}{196}$ болса, онда $x-4 > \frac{1}{196}$, одан $\sqrt{x-4} > \frac{1}{14}$ және $\frac{1}{2\sqrt{x-4}} < 7$. Демек, $y' < 0$. Функция $[\frac{785}{196}, +\infty)$ аралығында кемиді.

5.Экстремумдар.
$x=\frac{785}{196}$ нүктесінде туынды таңбасын оңнан теріске ауыстырады, сондықтан бұл максимум нүктесі.
Максимум мәнін табамыз: $y_{max} = y(\frac{785}{196}) = \sqrt{\frac{785}{196} - 4} - 7 \cdot \frac{785}{196} = \sqrt{\frac{1}{196}} - \frac{5495}{196} = \frac{1}{14} - \frac{5495}{196} = \frac{14 - 5495}{196} = -\frac{5481}{196} = -\frac{783}{28}$.

6.Анықталу облысының шекараларындағы функцияның мәндері.
Сол жақ шекарада, $x=4$: $y(4) = \sqrt{4-4} - 7(4) = -28$.
Оң жақ шекарада, $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x-4} - 7x) = -\infty$.

Зерттеу нәтижесінде функция $[4, \frac{785}{196}]$ аралығында $-28$-ден максимум мәні $-\frac{783}{28}$-ге дейін өседі, содан кейін $[\frac{785}{196}, +\infty)$ аралығында $-\frac{783}{28}$-ден $-\infty$-ге дейін кемиді.

Енді $\sqrt{x-4} - 7x = p$ теңдеуінің түбірлер санын анықтаймыз.
- Егер $p > -\frac{783}{28}$ болса, түбірлер жоқ.
- Егер $p = -\frac{783}{28}$ болса, бір түбір бар.
- Егер $-28 < p < -\frac{783}{28}$ болса, екі түбір бар.
- Егер $p = -28$ болса, екі түбір бар ($x=4$ және екіншісі кему аралығында).
- Егер $p < -28$ болса, бір түбір бар.

Ответ:
$p > -\frac{783}{28}$ болғанда, теңдеудің түбірлері жоқ;
$p = -\frac{783}{28}$ болғанда, бір түбір;
$p \in [-28, -\frac{783}{28})$ болғанда, екі түбір;
$p < -28$ болғанда, бір түбір.