Страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y=\sin x$.

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $T = 2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

2. Затем строим график функции $y = \sin(\frac{x}{2})$. Аргумент $x$ умножается на коэффициент $\frac{1}{2}$, что соответствует растяжению графика вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Наконец, строим график функции $y = 2 + \sin(\frac{x}{2})$. Это сдвиг предыдущего графика вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Ось симметрии синусоиды перемещается с $y=0$ на $y=2$. Область значений функции становится $[2-1, 2+1]$, то есть $[1, 3]$.

Ключевые точки одного периода:

• При $x=0$, $y = 2 + \sin(0) = 2$.

• При $x=\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 + 1 = 3$ (максимум).

• При $x=2\pi$, $y = 2 + \sin(\pi) = 2$.

• При $x=3\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 - 1 = 1$ (минимум).

• При $x=4\pi$, $y = 2 + \sin(2\pi) = 2$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$ — это синусоида с периодом $4\pi$, смещенная на 2 единицы вверх по оси Oy. Амплитуда колебаний равна 1, область значений функции — $[1, 3]$.

2) $y = 2\tg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Для построения графика выполним преобразования графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Перепишем функцию в виде $y = 2\tg\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$.

2. Строим график $y = \tg x$. Период $T=\pi$, вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Строим $y = \tg(\frac{x}{2})$. Растяжение вдоль оси Ox в 2 раза. Период $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Асимптоты: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \pi + 2k\pi$.

4. Строим $y = \tg\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{2}$. Асимптоты смещаются вправо: $x = \pi + \frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$. Нули функции: $\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) = k\pi \Rightarrow x - \frac{\pi}{2} = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

5. Строим $y = 2\tg\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза. Значения функции в каждой точке (кроме нулей) удваиваются.

Ответ: График функции $y = 2\tg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$ — это тангенсоида с периодом $2\pi$, сдвинутая вправо на $\frac{\pi}{2}$ и растянутая в 2 раза вдоль оси Oy. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \tg x \cdot \ctg x + 1$

Прежде чем строить график, найдем область определения функции (ОДЗ).

• Функция $\tg x$ определена, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Функция $\ctg x$ определена, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что функция не определена в точках $x = \frac{m\pi}{2}$ для любого целого $m$.

В области определения функции справедливо тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$.

Таким образом, наша функция упрощается до $y = 1 + 1 = 2$ при условии $x \neq \frac{m\pi}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Графиком является прямая линия $y=2$, из которой "выколоты" точки с абсциссами $x = ..., -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, ...$

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y=2$ с выколотыми точками в местах, где $x = \frac{k\pi}{2}$ для всех целых $k$.

4) $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$

Для построения графика выполним преобразования графика $y = \cos x$.

1. Перепишем функцию в виде $y = 2\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 3$.

2. Строим график $y = \cos x$. Период $T=2\pi$, область значений $[-1, 1]$.

3. Строим $y = \cos(2x)$. Сжатие вдоль оси Ox в 2 раза. Период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

4. Строим $y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$ (фазовый сдвиг).

5. Строим $y = 2\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда становится равной 2. Область значений $[-2, 2]$.

6. Строим $y = 2\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 3$. Сдвиг вверх на 3 единицы. Ось симметрии $y=3$. Область значений $[3-2, 3+2]$, то есть $[1, 5]$.

Ключевые точки одного периода: Максимум косинуса достигается, когда его аргумент равен $2k\pi$. $2(x-\frac{\pi}{6}) = 0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$. В этой точке $y=2\cos(0)+3 = 5$.

• Максимум: $(\frac{\pi}{6}, 5)$.

• Минимум: сдвинут на половину периода от максимума, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$. В этой точке $y = 2\cos(\pi)+3 = 1$.

Ответ: График функции — это косинусоида с периодом $\pi$, сдвинутая вправо на $\frac{\pi}{6}$ и вверх на 3. Амплитуда колебаний равна 2, область значений — $[1, 5]$.

1) $y = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x}$

Для построения графика функции сначала упростим ее выражение. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.Подставим это в исходное уравнение:$y = \frac{\sin^2 x}{\sin x}$

Теперь найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:$\sin x \neq 0$$x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).

На области определения мы можем сократить дробь:$y = \sin x$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$ за исключением точек, в которых $x = \pi k$. Эти точки необходимо "выколоть" из графика.Найдем координаты выколотых точек:При $x = \pi k$, значение $y$ было бы равно $\sin(\pi k) = 0$.Следовательно, выколотые точки имеют координаты $(\pi k, 0)$ для всех целых $k$. Это точки $(..., (-\pi, 0), (0, 0), (\pi, 0), (2\pi, 0), ...)$.График представляет собой синусоиду с выколотыми точками в местах ее пересечения с осью Ox.

Ответ: Графиком функции является синусоида $y=\sin x$ с выколотыми точками в точках пересечения с осью Ox, то есть в точках с координатами $(\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\sin x}$

Упростим выражение. Из основного тригонометрического тождества $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.Тогда $\sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$.Функция принимает вид:$y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:$\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:1. Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Тогда $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$. Это происходит на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$ для целых $n$.2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда $y = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$. Это происходит на интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для целых $n$.

График функции состоит из горизонтальных отрезков. На интервалах, где синус положителен, график — это прямая $y=1$. На интервалах, где синус отрицателен, график — это прямая $y=-1$. В точках $x = \pi k$ функция не определена, поэтому на концах отрезков будут выколотые точки.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов: $y=1$ для $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$ и $y=-1$ для $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = 2\tg x \cdot \ctg x$

Для построения графика найдем область определения функции.Функция $\tg x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.Функция $\ctg x$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$.Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ: $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

На области определения функции известно, что $\tg x \cdot \ctg x = 1$.Поэтому, для всех $x$ из ОДЗ, функция упрощается до:$y = 2 \cdot 1 = 2$

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=2$ с выколотыми точками в тех местах, где исходная функция не определена.Координаты выколотых точек: $(\frac{\pi m}{2}, 2)$, где $m \in \mathbb{Z}$.Это точки $(..., (-\pi, 2), (-\frac{\pi}{2}, 2), (0, 2), (\frac{\pi}{2}, 2), (\pi, 2), ...)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотыми точками $(\frac{\pi m}{2}, 2)$, где $m \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{\sin 2x}{\sin x} + 2$

Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.$y = \frac{2\sin x \cos x}{\sin x} + 2$

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения можно сократить $\sin x$:$y = 2\cos x + 2$

График этой функции — это график $y = \cos x$, преобразованный следующим образом:1. Растяжение вдоль оси Y в 2 раза (амплитуда становится равной 2).2. Сдвиг вверх на 2 единицы.График колеблется между $y=0$ и $y=4$ с периодом $2\pi$.

Необходимо выколоть точки, где $x = \pi k$:- Если $k$ — четное число ($k=2n$), то $x = 2\pi n$. Тогда $\cos(2\pi n) = 1$, и $y = 2(1) + 2 = 4$. Выколотые точки: $(2\pi n, 4)$.- Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $x = (2n+1)\pi$. Тогда $\cos((2n+1)\pi) = -1$, и $y = 2(-1) + 2 = 0$. Выколотые точки: $((2n+1)\pi, 0)$.Выколотые точки совпадают с точками максимума и минимума функции.

Ответ: График функции — это косинусоида $y=2\cos x + 2$, смещенная вверх на 2, с амплитудой 2. Точки максимума $(2\pi n, 4)$ и минимума $((2n+1)\pi, 0)$ выколоты.

1) Чтобы найти период функции $y = 2\tg(3x) + \sin(\frac{x}{2})$, нужно найти периоды каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).
Функция состоит из двух слагаемых: $f(x) = 2\tg(3x)$ и $g(x) = \sin(\frac{x}{2})$.
1. Найдем период $T_1$ для $f(x) = 2\tg(3x)$. Основной период тангенса $\tg(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $A\tg(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=3$.
$T_1 = \frac{\pi}{3}$.
2. Найдем период $T_2$ для $g(x) = \sin(\frac{x}{2})$. Основной период синуса $\sin(t)$ равен $2\pi$. Период функции вида $A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=\frac{1}{2}$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
3. Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{3}, 4\pi)$.
Чтобы найти НОК, нужно найти такие целые числа $n_1$ и $n_2$, что $T = n_1 \cdot T_1 = n_2 \cdot T_2$.
$n_1 \cdot \frac{\pi}{3} = n_2 \cdot 4\pi$.
$\frac{n_1}{3} = 4n_2 \implies n_1 = 12n_2$.
Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2=1$ и $n_1=12$.
Тогда $T = 12 \cdot \frac{\pi}{3} = 4\pi$ или $T = 1 \cdot 4\pi = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$

2) Рассмотрим функцию $y = 2\ctg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + \cos(x) - 2$.
Период функции не изменяется при сложении с константой, поэтому слагаемое $-2$ можно не учитывать при нахождении периода.
Функция является суммой двух периодических функций: $f(x) = 2\ctg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$ и $g(x) = \cos(x)$.
1. Найдем период $T_1$ для $f(x) = 2\ctg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$. Основной период котангенса $\ctg(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $A\ctg(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=\frac{1}{2}$.
$T_1 = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.
2. Найдем период $T_2$ для $g(x) = \cos(x)$. Основной период косинуса $\cos(x)$ равен $2\pi$.
$T_2 = 2\pi$.
3. Период суммы функций равен наименьшему общему кратному их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$

3) Рассмотрим функцию $y = \tg(x) \cdot \ctg(x) - 2$.
Основное тригонометрическое тождество гласит, что $\tg(x) \cdot \ctg(x) = 1$. Однако это тождество справедливо только там, где обе функции, $\tg(x)$ и $\ctg(x)$, определены.
Область определения $\tg(x)$ — все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число.
Область определения $\ctg(x)$ — все $x$, кроме $x = k\pi$, где $k$ — целое число.
Объединяя эти условия, получаем, что область определения исходной функции $y$ — это все действительные числа, за исключением точек вида $x = \frac{m\pi}{2}$ для любого целого $m$.
На всей своей области определения функция принимает постоянное значение: $y = 1 - 2 = -1$.
Хотя значение функции постоянно, она не является непрерывной константой на всей числовой прямой. Период такой функции определяется периодичностью ее области определения. Наименьшее положительное число $T$, на которое можно сдвинуть область определения, чтобы она совпала сама с собой, и является периодом функции.
Множество "выколотых" точек $\{ \frac{m\pi}{2} | m \in \mathbb{Z} \}$ имеет наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

4) Чтобы найти период функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3\sin(4x)$, нужно найти периоды каждого слагаемого и затем их наименьшее общее кратное (НОК).
Функция состоит из двух слагаемых: $f(x) = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$ и $g(x) = 3\sin(4x)$.
1. Найдем период $T_1$ для $f(x) = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Основной период косинуса $\cos(t)$ равен $2\pi$. Период функции вида $A\cos(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$.
$T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Найдем период $T_2$ для $g(x) = 3\sin(4x)$. Основной период синуса $\sin(t)$ равен $2\pi$. Период функции вида $A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=4$.
$T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
3. Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, \frac{\pi}{2})$.
Мы ищем наименьшее положительное число $T$, для которого существуют натуральные числа $n_1$ и $n_2$ такие, что $T = n_1 \cdot T_1 = n_2 \cdot T_2$.
$n_1 \cdot \pi = n_2 \cdot \frac{\pi}{2}$.
$n_1 = \frac{n_2}{2}$.
Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2=2$ и $n_1=1$.
Тогда $T = 1 \cdot \pi = \pi$ или $T = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$

1) $ \sin{x} - \sqrt{2} \sin{3x} = -\sin{5x} $

Перенесем $ \sin{5x} $ в левую часть уравнения:

$ \sin{x} + \sin{5x} - \sqrt{2} \sin{3x} = 0 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ 2\sin{\frac{x+5x}{2}}\cos{\frac{5x-x}{2}} - \sqrt{2} \sin{3x} = 0 $

$ 2\sin{3x}\cos{2x} - \sqrt{2} \sin{3x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin{3x} $ за скобки:

$ \sin{3x}(2\cos{2x} - \sqrt{2}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $ \sin{3x} = 0 $

$ 3x = \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in Z $

б) $ 2\cos{2x} - \sqrt{2} = 0 $

$ 2\cos{2x} = \sqrt{2} $

$ \cos{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ 2x = \pm\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 2\pi n, \quad n \in Z $

$ 2x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $

$ x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{3}, \quad x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad k, n \in Z $.

2) $ \sin{3x} - \sqrt{3} \cos{2x} = \sin{x} $

Перегруппируем члены уравнения:

$ \sin{3x} - \sin{x} = \sqrt{3} \cos{2x} $

Применим формулу разности синусов $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ 2\cos{\frac{3x+x}{2}}\sin{\frac{3x-x}{2}} = \sqrt{3} \cos{2x} $

$ 2\cos{2x}\sin{x} = \sqrt{3} \cos{2x} $

$ 2\cos{2x}\sin{x} - \sqrt{3} \cos{2x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos{2x} $ за скобки:

$ \cos{2x}(2\sin{x} - \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $ \cos{2x} = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z $

б) $ 2\sin{x} - \sqrt{3} = 0 $

$ 2\sin{x} = \sqrt{3} $

$ \sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ x = (-1)^n \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \pi n, \quad n \in Z $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad k, n \in Z $.

3) $ \cos(70^\circ + x)\cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2} $

Применим формулу произведения косинусов $ \cos{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $:

$ \frac{1}{2}(\cos((70^\circ + x) + (x - 20^\circ)) + \cos((70^\circ + x) - (x - 20^\circ))) = \frac{1}{2} $

$ \cos(2x + 50^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 $

Так как $ \cos(90^\circ) = 0 $:

$ \cos(2x + 50^\circ) = 1 $

Это частный случай, уравнение решается следующим образом:

$ 2x + 50^\circ = 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ 2x = -50^\circ + 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ x = -25^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $

Ответ: $ x = -25^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $.

4) $ 2\sin(40^\circ + x)\sin(x - 50^\circ) + 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть:

$ 2\sin(40^\circ + x)\sin(x - 50^\circ) = -1 $

Можно представить $ \sin(x - 50^\circ) $ как $ -\sin(50^\circ - x) $:

$ -2\sin(40^\circ + x)\sin(50^\circ - x) = -1 $

$ 2\sin(x + 40^\circ)\sin(50^\circ - x) = 1 $

Применим формулу произведения синусов $ 2\sin{\alpha}\sin{\beta} = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $:

$ \cos((x + 40^\circ) - (50^\circ - x)) - \cos((x + 40^\circ) + (50^\circ - x)) = 1 $

$ \cos(2x - 10^\circ) - \cos(90^\circ) = 1 $

Так как $ \cos(90^\circ) = 0 $:

$ \cos(2x - 10^\circ) = 1 $

$ 2x - 10^\circ = 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ 2x = 10^\circ + 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ x = 5^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $

Ответ: $ x = 5^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $.

5) $ 4\cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} + 3\sin^2{x} - 3 = 0 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 $, чтобы заменить 3:

$ 4\cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} + 3\sin^2{x} - 3(\sin^2{x} + \cos^2{x}) = 0 $

$ 4\cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} + 3\sin^2{x} - 3\sin^2{x} - 3\cos^2{x} = 0 $

Приводим подобные члены:

$ \cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} = 0 $

Выносим $ \cos{x} $ за скобки:

$ \cos{x}(\cos{x} + \sin{x}) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \cos{x} = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $

б) $ \cos{x} + \sin{x} = 0 $

$ \sin{x} = -\cos{x} $

Разделим обе части на $ \cos{x} $ (при условии, что $ \cos{x} \neq 0 $, что верно, так как если $ \cos{x}=0 $, то и $ \sin{x}=0 $, а это невозможно):

$ \tan{x} = -1 $

$ x = \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in Z $

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad k, n \in Z $.

6) $ \cos^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} = -1 $

Перенесем 1 в левую часть и заменим по основному тригонометрическому тождеству $ 1 = \sin^2{x} + \cos^2{x} $:

$ \cos^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} + 1 = 0 $

$ \cos^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} + (\sin^2{x} + \cos^2{x}) = 0 $

Приводим подобные члены:

$ \sin^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2{x} = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, является ли $ \cos{x}=0 $ решением. Если $ \cos{x}=0 $, то из уравнения следует $ \sin^2{x}=0 $, что невозможно одновременно. Значит, $ \cos{x} \neq 0 $.

Разделим обе части уравнения на $ \cos^2{x} $:

$ \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \frac{3\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}} + \frac{2\cos^2{x}}{\cos^2{x}} = 0 $

$ \tan^2{x} - 3\tan{x} + 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan{x} $:

$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Возвращаемся к замене:

а) $ \tan{x} = 1 $

$ x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z $

б) $ \tan{x} = 2 $

$ x = \arctan(2) + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = \arctan(2) + \pi n, \quad k, n \in Z $.

1) $ \sin x + \sin 2x - \cos x = 2\cos^2 x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ \sin x + \sin 2x - \cos x - 2\cos^2 x = 0 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ \sin x + 2\sin x \cos x - \cos x - 2\cos^2 x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ (\sin x + 2\sin x \cos x) - (\cos x + 2\cos^2 x) = 0 $

$ \sin x (1 + 2\cos x) - \cos x (1 + 2\cos x) = 0 $

$ (\sin x - \cos x)(1 + 2\cos x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

a) $ \sin x - \cos x = 0 $

$ \sin x = \cos x $

Разделим обе части на $ \cos x $ (при условии, что $ \cos x \neq 0 $). Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin x = \pm 1 $, следовательно $ \sin x \neq \cos x $. Значит, деление возможно.

$ \tan x = 1 $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

б) $ 1 + 2\cos x = 0 $

$ 2\cos x = -1 $

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z; \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z. $

2) $ \sin^4 x - \cos^4 x = -\sin^4 x $

Перенесем $ -\sin^4 x $ в левую часть:

$ 2\sin^4 x - \cos^4 x = 0 $

Заметим, что $ \cos x \neq 0 $, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что $ 2\sin^4 x = 0 $, то есть $ \sin x = 0 $. Но $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть одновременно равны нулю. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^4 x $:

$ \frac{2\sin^4 x}{\cos^4 x} - \frac{\cos^4 x}{\cos^4 x} = 0 $

$ 2\tan^4 x - 1 = 0 $

$ \tan^4 x = \frac{1}{2} $

Извлечем корень четвертой степени:

$ \tan x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}} $

Отсюда находим решения:

$ x = \arctan\left(\pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right) + \pi n, n \in Z $

Это можно записать как две серии решений или в более компактной форме:

$ x = \pm \arctan\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right) + \pi n, n \in Z $

Ответ: $ x = \pm \arctan\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right) + \pi n, n \in Z. $

3) $ 2\sin 2x - \sin^2 x = 3\cos^2 x $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2(2\sin x \cos x) - \sin^2 x = 3\cos^2 x $

$ 4\sin x \cos x - \sin^2 x - 3\cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя в уравнение, получаем $ 0 - 1 - 0 = 0 $, что неверно. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 4\tan x - \tan^2 x - 3 = 0 $

Умножим на -1 и переставим слагаемые, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения относительно $ \tan x $:

$ \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $:

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 3 $.

Вернемся к замене:

a) $ \tan x = 1 $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

б) $ \tan x = 3 $

$ x = \arctan(3) + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z; \quad x = \arctan(3) + \pi k, k \in Z. $

4) $ 1 - \sin 2x = \frac{\cos x}{|\cos x|} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $.

Выражение в правой части может принимать только два значения:

- $ \frac{\cos x}{|\cos x|} = 1 $, если $ \cos x > 0 $

- $ \frac{\cos x}{|\cos x|} = -1 $, если $ \cos x < 0 $

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $ \cos x > 0 $. Уравнение принимает вид:

$ 1 - \sin 2x = 1 $

$ -\sin 2x = 0 $

$ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n, n \in Z $

$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

Теперь выберем из этих решений те, которые удовлетворяют условию $ \cos x > 0 $.

Если $ n = 0, x = 0 \implies \cos 0 = 1 > 0 $ (подходит).

Если $ n = 1, x = \frac{\pi}{2} \implies \cos \frac{\pi}{2} = 0 $ (не входит в ОДЗ).

Если $ n = 2, x = \pi \implies \cos \pi = -1 < 0 $ (не подходит).

Если $ n = 3, x = \frac{3\pi}{2} \implies \cos \frac{3\pi}{2} = 0 $ (не входит в ОДЗ).

Если $ n = 4, x = 2\pi \implies \cos 2\pi = 1 > 0 $ (подходит).

Подходят значения $ x $ вида $ 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Случай 2: $ \cos x < 0 $. Уравнение принимает вид:

$ 1 - \sin 2x = -1 $

$ \sin 2x = 2 $

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1; 1] $.

Объединяя результаты, получаем единственную серию решений.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in Z. $

1) $2\sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) \ge \frac{1}{2}$

Используем формулу приведения для синуса: $\sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(x)$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$2(-\cos x)^2 \ge \frac{1}{2}$

$2\cos^2 x \ge \frac{1}{2}$

Разделим обе части на 2:

$\cos^2 x \ge \frac{1}{4}$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

$\frac{1+\cos(2x)}{2} \ge \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1+\cos(2x) \ge \frac{1}{2}$

$\cos(2x) \ge -\frac{1}{2}$

Пусть $y = 2x$. Тогда неравенство принимает вид $\cos y \ge -\frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой косинус (абсцисса) больше или равен $-\frac{1}{2}$. Это соответствует углам от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.

С учетом периодичности функции косинуса, общее решение для $y$ будет:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le y \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $y=2x$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg}3x - \sqrt{3} \ge 0$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$\text{ctg}3x \ge \sqrt{3}$

Сделаем замену переменной: пусть $y = 3x$. Неравенство примет вид:

$\text{ctg} y \ge \sqrt{3}$

Функция котангенса является периодической с периодом $\pi$ и убывающей на каждом из своих интервалов определения $(\pi k; \pi(k+1))$.

Найдем решение уравнения $\text{ctg} y = \sqrt{3}$. Основное решение $y = \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $\text{ctg} y$ убывает, неравенство $\text{ctg} y \ge \sqrt{3}$ выполняется для значений $y$, которые меньше или равны $\frac{\pi}{6}$, но больше, чем левая граница области определения. В основном интервале $(0, \pi)$ это будет $0 < y \le \frac{\pi}{6}$.

Учитывая периодичность, общее решение для $y$ имеет вид:

$\pi k < y \le \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену $y=3x$:

$\pi k < 3x \le \frac{\pi}{6} + \pi k$

Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$\frac{\pi k}{3} < x \le \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$.

1) $y = \arccos\frac{2}{x} + \sqrt{6 - x - x^2}$

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $\arccos\frac{2}{x}$ и $\sqrt{6 - x - x^2}$.

1. Найдем область определения для $f_1(x) = \arccos\frac{2}{x}$.

Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 0$).

$-1 \le \frac{2}{x} \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{x} \le 1 \\ \frac{2}{x} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{2}{x} - 1 \le 0 \implies \frac{2 - x}{x} \le 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{2}{x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2 + x}{x} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -2] \cup (0, \infty)$.

Область определения первого слагаемого — это пересечение этих двух множеств: $D_1 = ((-\infty, 0) \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, -2] \cup (0, \infty)) = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Найдем область определения для $f_2(x) = \sqrt{6 - x - x^2}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$6 - x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак:

$x^2 + x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 + x - 6$ ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-3, 2]$. Таким образом, $D_2 = [-3, 2]$.

3. Область определения исходной функции $y$ является пересечением $D_1$ и $D_2$.

$D(y) = D_1 \cap D_2 = ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap [-3, 2]$.

Пересечение этих множеств дает: $[-3, -2] \cup \{2\}$.

Ответ: $D(y) = [-3, -2] \cup \{2\}$.

2) $y = \arcsin(x^2 - 3) = \sqrt{5x - x^2 - 6}$

В условии задачи, скорее всего, опечатка, и вместо знака '=' должен стоять знак '+', так как требуется найти область определения функции, а не решать уравнение. Будем находить область определения для функции $y = \arcsin(x^2 - 3) + \sqrt{5x - x^2 - 6}$.

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $\arcsin(x^2 - 3)$ и $\sqrt{5x - x^2 - 6}$.

1. Найдем область определения для $f_1(x) = \arcsin(x^2 - 3)$.

Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно.

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$2 \le x^2 \le 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 \ge 2 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Решение $x^2 \ge 2$ есть $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Решение $x^2 \le 4$ есть $x \in [-2, 2]$.

Пересечение этих решений дает область определения первого слагаемого: $D_1 = [-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

2. Найдем область определения для $f_2(x) = \sqrt{5x - x^2 - 6}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$5x - x^2 - 6 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак:

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Так как парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [2, 3]$. Таким образом, $D_2 = [2, 3]$.

3. Область определения исходной функции $y$ является пересечением $D_1$ и $D_2$.

$D(y) = D_1 \cap D_2 = ([-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]) \cap [2, 3]$.

Единственной общей точкой этих множеств является $x = 2$.

Ответ: $D(y) = \{2\}$.