Номер 7, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = \arccos\frac{2}{x} + \sqrt{6 - x - x^2}$

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $\arccos\frac{2}{x}$ и $\sqrt{6 - x - x^2}$.

1. Найдем область определения для $f_1(x) = \arccos\frac{2}{x}$.

Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 0$).

$-1 \le \frac{2}{x} \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{x} \le 1 \\ \frac{2}{x} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{2}{x} - 1 \le 0 \implies \frac{2 - x}{x} \le 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{2}{x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2 + x}{x} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -2] \cup (0, \infty)$.

Область определения первого слагаемого — это пересечение этих двух множеств: $D_1 = ((-\infty, 0) \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, -2] \cup (0, \infty)) = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Найдем область определения для $f_2(x) = \sqrt{6 - x - x^2}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$6 - x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак:

$x^2 + x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 + x - 6$ ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-3, 2]$. Таким образом, $D_2 = [-3, 2]$.

3. Область определения исходной функции $y$ является пересечением $D_1$ и $D_2$.

$D(y) = D_1 \cap D_2 = ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap [-3, 2]$.

Пересечение этих множеств дает: $[-3, -2] \cup \{2\}$.

Ответ: $D(y) = [-3, -2] \cup \{2\}$.

2) $y = \arcsin(x^2 - 3) = \sqrt{5x - x^2 - 6}$

В условии задачи, скорее всего, опечатка, и вместо знака '=' должен стоять знак '+', так как требуется найти область определения функции, а не решать уравнение. Будем находить область определения для функции $y = \arcsin(x^2 - 3) + \sqrt{5x - x^2 - 6}$.

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $\arcsin(x^2 - 3)$ и $\sqrt{5x - x^2 - 6}$.

1. Найдем область определения для $f_1(x) = \arcsin(x^2 - 3)$.

Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно.

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$2 \le x^2 \le 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 \ge 2 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Решение $x^2 \ge 2$ есть $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Решение $x^2 \le 4$ есть $x \in [-2, 2]$.

Пересечение этих решений дает область определения первого слагаемого: $D_1 = [-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

2. Найдем область определения для $f_2(x) = \sqrt{5x - x^2 - 6}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$5x - x^2 - 6 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак:

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Так как парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [2, 3]$. Таким образом, $D_2 = [2, 3]$.

3. Область определения исходной функции $y$ является пересечением $D_1$ и $D_2$.

$D(y) = D_1 \cap D_2 = ([-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]) \cap [2, 3]$.

Единственной общей точкой этих множеств является $x = 2$.

Ответ: $D(y) = \{2\}$.