Номер 8, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x+2}$.

Для нахождения производной функции можно использовать правило дифференцирования дроби, но проще представить функцию в виде степенной: $f(x) = 5(x+2)^{-1}$.

Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции и цепное правило (производная сложной функции):

$f'(x) = (5(x+2)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-1-1} \cdot (x+2)' = -5(x+2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x+2)^2}$.

Далее найдем значение производной в точке $x_0 = 2$, подставив это значение в полученное выражение для производной:

$f'(2) = -\frac{5}{(2+2)^2} = -\frac{5}{4^2} = -\frac{5}{16}$.

Ответ: $-\frac{5}{16}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{\sin(\pi x)}{x} + x^2$.

Производная данной функции является суммой производных ее слагаемых: $f'(x) = (\frac{\sin(\pi x)}{x})' + (x^2)'$.

Для нахождения производной первого слагаемого $\frac{\sin(\pi x)}{x}$ используем правило дифференцирования дроби $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sin(\pi x)$ и $v(x) = x$.

Тогда $u'(x) = (\sin(\pi x))' = \cos(\pi x) \cdot (\pi x)' = \pi \cos(\pi x)$, а $v'(x) = (x)' = 1$.

Следовательно, $(\frac{\sin(\pi x)}{x})' = \frac{\pi \cos(\pi x) \cdot x - \sin(\pi x) \cdot 1}{x^2} = \frac{\pi x \cos(\pi x) - \sin(\pi x)}{x^2}$.

Производная второго слагаемого: $(x^2)' = 2x$.

Объединяем производные слагаемых: $f'(x) = \frac{\pi x \cos(\pi x) - \sin(\pi x)}{x^2} + 2x$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{\pi \cdot 2 \cos(2\pi) - \sin(2\pi)}{2^2} + 2 \cdot 2$.

Так как $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$, подставляем эти значения:

$f'(2) = \frac{2\pi \cdot 1 - 0}{4} + 4 = \frac{2\pi}{4} + 4 = \frac{\pi}{2} + 4$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 4$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{5x + 7x^3}}{x+2} + \tan(x)$.

Производная функции равна сумме производных: $f'(x) = \left(\frac{\sqrt{5x + 7x^3}}{x+2}\right)' + (\tan(x))'$.

Рассмотрим первое слагаемое. Для нахождения его производной используем правило дифференцирования дроби $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{5x + 7x^3}$ и $v(x) = x+2$.

Найдем производную $u'(x)$ по цепному правилу: $u'(x) = (\sqrt{5x + 7x^3})' = \frac{1}{2\sqrt{5x + 7x^3}} \cdot (5x + 7x^3)' = \frac{5 + 21x^2}{2\sqrt{5x + 7x^3}}$.

Производная $v'(x) = (x+2)' = 1$.

Производная второго слагаемого: $(\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Теперь подставим $x_0 = 2$ в выражения для $u(x)$, $v(x)$ и их производных, чтобы найти значение производной в точке.

$u(2) = \sqrt{5(2) + 7(2)^3} = \sqrt{10 + 7 \cdot 8} = \sqrt{10 + 56} = \sqrt{66}$.

$v(2) = 2+2 = 4$.

$u'(2) = \frac{5 + 21(2)^2}{2\sqrt{5(2) + 7(2)^3}} = \frac{5 + 84}{2\sqrt{66}} = \frac{89}{2\sqrt{66}}$.

$v'(2) = 1$.

Значение производной первого слагаемого в точке $x_0=2$:

$\frac{u'(2)v(2) - u(2)v'(2)}{[v(2)]^2} = \frac{\frac{89}{2\sqrt{66}} \cdot 4 - \sqrt{66} \cdot 1}{4^2} = \frac{\frac{178}{\sqrt{66}} - \sqrt{66}}{16} = \frac{\frac{178 - 66}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{112}{16\sqrt{66}} = \frac{7}{\sqrt{66}}$.

Значение производной второго слагаемого в точке $x_0=2$: $(\tan(x))'|_{x=2} = \frac{1}{\cos^2(2)}$.

Полное значение производной $f'(2)$ равно сумме значений производных слагаемых:

$f'(2) = \frac{7}{\sqrt{66}} + \frac{1}{\cos^2(2)}$.

Ответ: $\frac{7}{\sqrt{66}} + \frac{1}{\cos^2(2)}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos^2(3x) + 3x^2$.

Производная функции равна сумме производных: $f'(x) = (\cos^2(3x))' + (3x^2)'$.

Для нахождения производной первого слагаемого $y = \cos^2(3x)$ используем цепное правило дважды. Можно рассматривать эту функцию как $y = u^2$, где $u = \cos(v)$, а $v=3x$.

$(\cos^2(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (\cos(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = -2\cos(3x)\sin(3x) \cdot 3 = -6\sin(3x)\cos(3x)$.

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$ для упрощения:

$-6\sin(3x)\cos(3x) = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(2 \cdot 3x) = -3\sin(6x)$.

Производная второго слагаемого: $(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$.

Таким образом, производная всей функции: $f'(x) = -3\sin(6x) + 6x$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = -3\sin(6 \cdot 2) + 6 \cdot 2 = -3\sin(12) + 12 = 12 - 3\sin(12)$.

Ответ: $12 - 3\sin(12)$.