Номер 15, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = (x - 6) \cdot (x + 10)^3 \cdot (x + 3)^4$

Для нахождения критических точек функции, а также точек максимума и минимума, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае функция дифференцируема на всей числовой оси.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$:

$y' = ((x - 6))' \cdot (x + 10)^3 (x + 3)^4 + (x - 6) \cdot ((x + 10)^3)' \cdot (x + 3)^4 + (x - 6) \cdot (x + 10)^3 \cdot ((x + 3)^4)'$

$y' = 1 \cdot (x + 10)^3 (x + 3)^4 + (x - 6) \cdot 3(x + 10)^2 \cdot (x + 3)^4 + (x - 6)(x + 10)^3 \cdot 4(x + 3)^3$

Вынесем общие множители $(x + 10)^2$ и $(x + 3)^3$ за скобки:

$y' = (x + 10)^2 (x + 3)^3 [(x + 10)(x + 3) + 3(x - 6)(x + 3) + 4(x - 6)(x + 10)] $

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 + 13x + 30) + (3x^2 - 9x - 54) + (4x^2 + 16x - 240) ] = 8x^2 + 20x - 264 = 4(2x^2 + 5x - 66)$

Таким образом, производная имеет вид:

$y' = 4(x + 10)^2 (x + 3)^3 (2x^2 + 5x - 66)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $y' = 0$.

$4(x + 10)^2 (x + 3)^3 (2x^2 + 5x - 66) = 0$

Корни этого уравнения:

1. $(x + 10)^2 = 0 \Rightarrow x = -10$

2. $(x + 3)^3 = 0 \Rightarrow x = -3$

3. $2x^2 + 5x - 66 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-66) = 25 + 528 = 553$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{553}}{4}$

Итак, мы получили следующие критические точки: $x = -10$, $x = -3$, $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4}$.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось, чтобы определить характер этих точек. Заметим, что множитель $(x+10)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака производной.

• При переходе через точку $x = -10$ знак производной не меняется, так как множитель $(x+10)$ находится в четной степени. Следовательно, $x=-10$ не является точкой экстремума.
• При переходе через точку $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4} \approx -7.1$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.
• При переходе через точку $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «−». Следовательно, это точка максимума.
• При переходе через точку $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4} \approx 4.6$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.

Ответ:
Сындық нүктелер (критические точки): $x = -10$, $x = -3$, $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4}$, $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4}$.
Максимум нүктесі (точка максимума): $x = -3$.
Минимум нүктелері (точки минимума): $x = \frac{-5 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{-5 + \sqrt{553}}{4}$.

2) $y = (x - 9) \cdot (x + 7)^3 \cdot x^4$

Аналогично первому пункту, найдем производную функции и ее нули.

$y' = ((x - 9))' \cdot (x + 7)^3 x^4 + (x - 9) \cdot ((x + 7)^3)' \cdot x^4 + (x - 9) \cdot (x + 7)^3 \cdot (x^4)'$

$y' = 1 \cdot (x + 7)^3 x^4 + (x - 9) \cdot 3(x + 7)^2 \cdot x^4 + (x - 9)(x + 7)^3 \cdot 4x^3$

Вынесем общие множители $x^3$ и $(x + 7)^2$ за скобки:

$y' = x^3(x + 7)^2 [1 \cdot (x + 7)x + 3(x - 9)x + 4(x - 9)(x + 7)] $

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 + 7x) + (3x^2 - 27x) + (4x^2 - 8x - 252) ] = 8x^2 - 28x - 252 = 4(2x^2 - 7x - 63)$

Производная имеет вид:

$y' = 4x^3(x + 7)^2 (2x^2 - 7x - 63)$

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$4x^3(x + 7)^2 (2x^2 - 7x - 63) = 0$

Корни этого уравнения:

1. $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$

2. $(x + 7)^2 = 0 \Rightarrow x = -7$

3. $2x^2 - 7x - 63 = 0$. Решим это квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-63) = 49 + 504 = 553$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{553}}{4}$

Критические точки: $x = -7$, $x = 0$, $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4}$.

Исследуем знак производной. Множитель $(x+7)^2$ не влияет на смену знака.

• При переходе через точку $x = -7$ знак производной не меняется из-за множителя $(x+7)^2$. Следовательно, $x=-7$ не является точкой экстремума.
• При переходе через точку $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4} \approx -4.1$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.
• При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−» (из-за множителя $x^3$). Следовательно, это точка максимума.
• При переходе через точку $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4} \approx 7.6$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точка минимума.

Ответ:
Сындық нүктелер (критические точки): $x = -7$, $x = 0$, $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4}$, $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4}$.
Максимум нүктесі (точка максимума): $x = 0$.
Минимум нүктелері (точки минимума): $x = \frac{7 - \sqrt{553}}{4}$ и $x = \frac{7 + \sqrt{553}}{4}$.