Номер 16, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = \frac{x^3}{1 - x}$

1.Область определения.
Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю.
$1 - x \neq 0 \implies x \neq 1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 - (-x)} = \frac{-x^3}{1 + x}$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = \frac{0^3}{1-0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $\frac{x^3}{1-x} = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.
График проходит через начало координат.

4.Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x = 1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{+0} = +\infty$
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{-0} = -\infty$
- Горизонтальные/наклонные асимптоты:
Степень числителя (3) больше степени знаменателя (1) на 2, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет. Поведение на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{1-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{-x} = \lim_{x \to +\infty} -x^2 = -\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{1-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{-x} = \lim_{x \to -\infty} -x^2 = -\infty$

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = \left(\frac{x^3}{1-x}\right)' = \frac{(x^3)'(1-x) - x^3(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{3x^2(1-x) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2} = \frac{x^2(3-2x)}{(1-x)^2}$.
Критические точки: $y'=0$ при $x^2(3-2x)=0 \implies x=0$ или $x=1.5$. Производная не определена при $x=1$.
- $x \in (-\infty, 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $x \in (0, 1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $x \in (1, 1.5)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $x \in (1.5, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=1.5$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(1.5) = \frac{(1.5)^3}{1 - 1.5} = \frac{3.375}{-0.5} = -6.75$.
Точка максимума: $(1.5, -6.75)$. В точке $x=0$ экстремума нет.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = \left(\frac{3x^2-2x^3}{(1-x)^2}\right)' = \frac{(6x-6x^2)(1-x)^2 - (3x^2-2x^3) \cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} = \frac{(6x-6x^2)(1-x) + 2(3x^2-2x^3)}{(1-x)^3}$
$y'' = \frac{6x-6x^2-6x^2+6x^3+6x^2-4x^3}{(1-x)^3} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6x}{(1-x)^3} = \frac{2x(x^2 - 3x + 3)}{(1-x)^3}$.
Дискриминант $x^2 - 3x + 3$ равен $D=9-12=-3<0$, так что этот множитель всегда положителен.$y''=0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
- $x \in (0, 1)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).
- $x \in (1, +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак. $y(0)=0$. Точка перегиба: $(0,0)$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Область определения $x \neq 1$. Вертикальная асимптота $x=1$. Локальный максимум в точке $(1.5, -6.75)$. Точка перегиба в $(0,0)$.

2) $y = \frac{x^3}{1 + x^2}$

1.Область определения.
Знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю ($1+x^2 \geq 1$).
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 + (-x)^2} = \frac{-x^3}{1 + x^2} = -y(x)$.
Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $x^3 = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.

4.Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: Нет, так как функция определена на всей числовой оси.
- Наклонная асимптота: Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), значит есть наклонная асимптота $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(1+x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{1+x^2} = 1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3}{1+x^2} - x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - x(1+x^2)}{1+x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x}{1+x^2} = 0$.
Наклонная асимптота: $y = x$.

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = \frac{3x^2(1+x^2) - x^3(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3x^2 + 3x^4 - 2x^4}{(1+x^2)^2} = \frac{x^4 + 3x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(1+x^2)^2}$.
$y' \geq 0$ для всех $x$, причем $y'=0$ только при $x=0$.
Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = \left(\frac{x^4+3x^2}{(1+x^2)^2}\right)' = \frac{(4x^3+6x)(1+x^2)^2 - (x^4+3x^2) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{(4x^3+6x)(1+x^2) - 4x(x^4+3x^2)}{(1+x^2)^3}$
$y'' = \frac{4x^3+4x^5+6x+6x^3 - 4x^5-12x^3}{(1+x^2)^3} = \frac{-2x^3+6x}{(1+x^2)^3} = \frac{-2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$.
$y''=0$ при $x=0, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (-\sqrt{3}, 0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (0, \sqrt{3})$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точки перегиба: $x=0, x=\pm\sqrt{3}$.
$y(0)=0$, $y(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{1+(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.3$, $y(-\sqrt{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx -1.3$.
Точки перегиба: $(0,0)$, $(\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{4})$, $(-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{4})$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Наклонная асимптота $y=x$. Функция возрастающая. Точки перегиба $(0,0)$, $(\sqrt{3}, 3\sqrt{3}/4)$, $(-\sqrt{3}, -3\sqrt{3}/4)$.

3) $y = \frac{x^3}{1 - x^2}$

1.Область определения.
$1 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1 - (-x)^2} = \frac{-x^3}{1 - x^2} = -y(x)$.
Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $x^3 = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.

4.Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x = 1$ и $x = -1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{1}{+0} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{-1}{-0} = +\infty$, $\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$.
- Наклонная асимптота: $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(1-x^2)} = -1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3}{1-x^2} + x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x - x^3}{1-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1-x^2} = 0$.
Наклонная асимптота: $y = -x$.

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = \frac{3x^2(1-x^2) - x^3(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2 - x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{x^2(3-x^2)}{(1-x^2)^2}$.
$y'=0$ при $x=0$ или $x=\pm\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$: $y' < 0$, убывает.
- $x \in (-\sqrt{3}, -1)$: $y' > 0$, возрастает.
- $x \in (-1, 1)$: $y' > 0$, возрастает.
- $x \in (1, \sqrt{3})$: $y' > 0$, возрастает.
- $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$: $y' < 0$, убывает.
$x=-\sqrt{3}$ - точка минимума, $y(-\sqrt{3}) = \frac{-3\sqrt{3}}{1-3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6$.
$x=\sqrt{3}$ - точка максимума, $y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{1-3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.6$.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = \frac{(6x-4x^3)(1-x^2)^2 - (3x^2-x^4) \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{(6x-4x^3)(1-x^2) + 4x(3x^2-x^4)}{(1-x^2)^3} = \frac{2x^3+6x}{(1-x^2)^3} = \frac{2x(x^2+3)}{(1-x^2)^3}$.
$y''=0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty, -1)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
- $x \in (-1, 0)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
- $x \in (0, 1)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
- $x \in (1, +\infty)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
Точка перегиба: $(0,0)$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, наклонная $y=-x$. Минимум в $(-\sqrt{3}, 3\sqrt{3}/2)$, максимум в $(\sqrt{3}, -3\sqrt{3}/2)$. Точка перегиба $(0,0)$.

4) $y = \frac{x^3 - 2x}{1 - x^2}$

1.Область определения.
$1 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2.Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)}{1 - (-x)^2} = \frac{-x^3 + 2x}{1 - x^2} = -\frac{x^3 - 2x}{1 - x^2} = -y(x)$.
Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.

3.Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью OX (y=0): $x^3 - 2x = 0 \implies x(x^2-2) = 0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{2}$.
Точки пересечения: $(0,0)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(-\sqrt{2}, 0)$.

4.Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x = 1$ и $x = -1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3-2x}{1-x^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-2x}{1-x^2} = \frac{-1}{-0} = +\infty$.
В силу нечетности: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -1^+} y(x) = +\infty$.
- Наклонная асимптота: $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3-2x}{x(1-x^2)} = -1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3-2x}{1-x^2} + x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3-2x+x-x^3}{1-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x}{1-x^2} = 0$.
Наклонная асимптота: $y = -x$.

5.Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = \frac{(3x^2-2)(1-x^2) - (x^3-2x)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2-3x^4-2+2x^2 + 2x^4-4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{-x^4+x^2-2}{(1-x^2)^2} = -\frac{x^4-x^2+2}{(1-x^2)^2}$.
В числителе $x^4-x^2+2 > 0$ для всех $x$ (т.к. для $t=x^2$ имеем $t^2-t+2$ с $D<0$).
Значит, $y' < 0$ на всей области определения. Функция всегда убывает. Экстремумов нет.

6.Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y = -x - \frac{x}{1-x^2} = -x + \frac{x}{x^2-1}$.
$y'' = \left(-x + \frac{x}{x^2-1}\right)'' = \left(\frac{x}{x^2-1}\right)'' = \left(\frac{1(x^2-1)-x(2x)}{(x^2-1)^2}\right)' = \left(\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}\right)' $
$= \frac{-2x(x^2-1)^2 - (-x^2-1) \cdot 2(x^2-1)(2x)}{(x^2-1)^4} = \frac{-2x(x^2-1)+4x(x^2+1)}{(x^2-1)^3} = \frac{-2x^3+2x+4x^3+4x}{(x^2-1)^3} = \frac{2x^3+6x}{(x^2-1)^3} = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.
$y''=0$ при $x=0$.
- $x \in (-\infty, -1)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
- $x \in (-1, 0)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
- $x \in (0, 1)$: $y'' < 0$, выпукла вверх.
- $x \in (1, +\infty)$: $y'' > 0$, выпукла вниз.
Точка перегиба: $(0,0)$.

7.График функции.

Ответ: Функция исследована, график построен. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, наклонная $y=-x$. Экстремумов нет, функция убывающая. Пересечение с OX в точках $x=0, \pm\sqrt{2}$. Точка перегиба $(0,0)$.