Номер 3, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения данного интеграла используем свойство линейности, которое позволяет разбить интеграл суммы на сумму интегралов, и применяем табличные значения интегралов.
$ \int (3x^5 + \frac{7}{2\sqrt{x}}) dx = \int 3x^5 dx + \int \frac{7}{2\sqrt{x}} dx $
Для удобства интегрирования, представим второе слагаемое в виде степенной функции: $ \frac{7}{2\sqrt{x}} = \frac{7}{2}x^{-1/2} $.
Теперь воспользуемся формулой для интеграла степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:
$ \int 3x^5 dx = 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = 3 \cdot \frac{x^6}{6} = \frac{x^6}{2} $
$ \int \frac{7}{2}x^{-1/2} dx = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 7x^{1/2} = 7\sqrt{x} $
Объединяем полученные результаты и добавляем произвольную постоянную $C$:
$ \frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C $
Ответ: $ \frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C $

2) Разложим интеграл на два, используя свойство линейности:
$ \int (3\cos(5x) - \frac{1}{x^2}) dx = \int 3\cos(5x) dx - \int \frac{1}{x^2} dx $
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности. Для первого используем формулу $ \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C $. Для второго представим $ \frac{1}{x^2} $ как $ x^{-2} $ и применим формулу для степенной функции.
$ \int 3\cos(5x) dx = 3 \int \cos(5x) dx = 3 \cdot \frac{\sin(5x)}{5} = \frac{3}{5}\sin(5x) $
$ \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} $
Вычитаем второе из первого и добавляем константу $C$:
$ \frac{3}{5}\sin(5x) - (-\frac{1}{x}) + C = \frac{3}{5}\sin(5x) + \frac{1}{x} + C $
Ответ: $ \frac{3}{5}\sin(5x) + \frac{1}{x} + C $

3) Используем свойство линейности интеграла:
$ \int (8\sin x - \frac{2}{\sin^2(2x)}) dx = \int 8\sin x dx - \int \frac{2}{\sin^2(2x)} dx $
Находим каждый интеграл по таблице:
$ \int 8\sin x dx = 8 \int \sin x dx = -8\cos x $
$ \int \frac{2}{\sin^2(2x)} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2(2x)} dx $. Используя формулу $ \int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C $, получаем:
$ 2 \cdot (-\frac{1}{2}\cot(2x)) = -\cot(2x) $
Объединяем результаты:
$ -8\cos x - (-\cot(2x)) + C = -8\cos x + \cot(2x) + C $
Ответ: $ -8\cos x + \cot(2x) + C $

4) Интеграл представляет собой сумму и разность нескольких функций. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$ \int (2\sin(3x) - 5x^7 + 3) dx = \int 2\sin(3x) dx - \int 5x^7 dx + \int 3 dx $
$ \int 2\sin(3x) dx = 2 \int \sin(3x) dx = 2 \cdot (-\frac{1}{3}\cos(3x)) = -\frac{2}{3}\cos(3x) $
$ \int 5x^7 dx = 5 \int x^7 dx = 5 \cdot \frac{x^8}{8} = \frac{5}{8}x^8 $
$ \int 3 dx = 3x $
Собираем все части вместе и добавляем константу интегрирования $C$:
$ -\frac{2}{3}\cos(3x) - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C $
Ответ: $ -\frac{2}{3}\cos(3x) - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C $

5) Разбиваем интеграл на разность двух интегралов:
$ \int (\frac{3}{x^7} - \frac{7}{\cos^2 x}) dx = \int \frac{3}{x^7} dx - \int \frac{7}{\cos^2 x} dx $
Для первого интеграла перепишем $ \frac{3}{x^7} = 3x^{-7} $ и применим формулу для степенной функции:
$ \int 3x^{-7} dx = 3 \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} = 3 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} = -\frac{1}{2}x^{-6} = -\frac{1}{2x^6} $
Для второго интеграла используем табличную формулу $ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C $:
$ \int \frac{7}{\cos^2 x} dx = 7 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 7\tan x $
Объединяем результаты:
$ -\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C $
Ответ: $ -\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C $

6) Используем свойство линейности для разделения интеграла:
$ \int (7 - \frac{5}{\sin^2 x}) dx = \int 7 dx - \int \frac{5}{\sin^2 x} dx $
Находим каждый интеграл по отдельности:
$ \int 7 dx = 7x $
$ \int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx $. Используя табличный интеграл $ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C $, получаем:
$ 5(-\cot x) = -5\cot x $
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
$ 7x - (-5\cot x) + C = 7x + 5\cot x + C $
Ответ: $ 7x + 5\cot x + C $