Номер 6, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для функции $f(x) = x^{-2}$ первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(1; -1)$. Это значит, что при $x=1$, $F(1)=-1$. Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$ чтобы найти константу $C$:

$F(1) = -\frac{1}{1} + C = -1$

$-1 + C = -1$

$C = 0$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -\frac{1}{x}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x}$.

2) Для функции $f(x) = x^{-3}$ найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

График проходит через точку $M(-1; 0)$, следовательно, при $x=-1$, $F(-1)=0$. Подставим значения:

$F(-1) = -\frac{1}{2(-1)^2} + C = 0$

$-\frac{1}{2} + C = 0$

$C = \frac{1}{2}$

Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

3) Для функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$ найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (2 - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = \int 2 dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2x - \tan x + C$.

График проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, поэтому при $x=\frac{\pi}{4}$, $F(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$. Подставляем значения, учитывая, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$F(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4}) - \tan(\frac{\pi}{4}) + C = \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2} - 1 + C = \frac{\pi}{2}$

$C = 1$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x} + 1$ найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2 x} + 1) dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \int 1 dx = -2\cot x + x + C$.

График проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$, значит при $x=\frac{\pi}{4}$, $F(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}$. Подставляем значения, учитывая, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$F(\frac{\pi}{4}) = -2\cot(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

$-2(1) + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

$-2 + C = 0$

$C = 2$

Искомая первообразная: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.

Ответ: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.