Страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = 3x$

Берілген функцияның алғашқы функциясын табу үшін, дәрежелік функцияны интегралдау ережесін $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ пайдаланамыз:

$F(x) = \int 3x \,dx = 3 \int x^1 \,dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{3x^2}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3x^2}{2} + C$

2) $f(x) = 4x^2 + x - 2$

Интегралдаудың қосынды ережесін қолданамыз, яғни әрбір қосылғышты жеке-жеке интегралдаймыз:

$F(x) = \int (4x^2 + x - 2) \,dx = \int 4x^2 \,dx + \int x \,dx - \int 2 \,dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{4x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C$

3) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 1$

Бұл жағдайда да қосындыны интегралдау ережесін қолданамыз:

$F(x) = \int (\frac{x^3}{3} + 1) \,dx = \int \frac{1}{3}x^3 \,dx + \int 1 \,dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + x + C = \frac{x^4}{12} + x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{12} + x + C$

4) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

Интегралдауды жеңілдету үшін функцияны дәрежелік түрде жазып аламыз: $f(x) = x^{-2}$. Содан кейін дәрежелік функцияны интегралдау ережесін қолданамыз:

$F(x) = \int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = - \frac{1}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + C$

1) Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 2\sin x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл $\int 2\sin x \,dx$.
Используя свойство вынесения константы за знак интеграла и табличный интеграл для синуса ($\int \sin x \,dx = -\cos x + C$), получаем:
$F(x) = \int 2\sin x \,dx = 2 \int \sin x \,dx = 2(-\cos x) + C = -2\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Ответ: $F(x) = -2\cos x + C$.

2) Для функции $f(x) = 5\cos x$ первообразная $F(x)$ находится путем вычисления интеграла $\int 5\cos x \,dx$.
Выносим константу и используем табличный интеграл для косинуса ($\int \cos x \,dx = \sin x + C$):
$F(x) = \int 5\cos x \,dx = 5 \int \cos x \,dx = 5\sin x + C$.
Ответ: $F(x) = 5\sin x + C$.

3) Для функции $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$ находим первообразную $F(x)$, используя свойство линейности интеграла: $\int (ag(x) + bh(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx$.
$F(x) = \int (3\cos x - 4\sin x) \,dx = 3\int \cos x \,dx - 4\int \sin x \,dx$.
Используя табличные интегралы, получаем:
$F(x) = 3(\sin x) - 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C$.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C$.

4) Для функции $f(x) = 5\sin x + 2\cos x$ находим первообразную $F(x)$, используя свойство линейности интеграла.
$F(x) = \int (5\sin x + 2\cos x) \,dx = 5\int \sin x \,dx + 2\int \cos x \,dx$.
Применяя табличные интегралы, имеем:
$F(x) = 5(-\cos x) + 2(\sin x) + C = -5\cos x + 2\sin x + C$.
Ответ: $F(x) = -5\cos x + 2\sin x + C$.

5) Для функции $f(x) = x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}$ сначала преобразуем ее, представив корень в виде степени: $f(x) = x^2 + 3x^{-1/2}$.
Теперь находим первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (x^2 + 3x^{-1/2}) \,dx = \int x^2 \,dx + 3\int x^{-1/2} \,dx$.
$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^3}{3} + 3\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 6\sqrt{x} + C$.

6) Для функции $f(x) = x^3 - \frac{4}{\sqrt{x}}$ преобразуем ее к виду $f(x) = x^3 - 4x^{-1/2}$.
Находим первообразную $F(x)$ по правилу интегрирования степенной функции.
$F(x) = \int (x^3 - 4x^{-1/2}) \,dx = \int x^3 \,dx - 4\int x^{-1/2} \,dx$.
$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^4}{4} - 4\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 8\sqrt{x} + C$.

7) Для функции $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)$ применяется правило интегрирования сложной функции вида $g(kx+b)$: $\int g(kx+b) \,dx = \frac{1}{k}G(kx+b) + C$, где $G$ — первообразная для $g$.
В данном случае $g(u) = \sin u$, ее первообразная $G(u) = -\cos u$, и $k=3$.
$F(x) = \int \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) \,dx = \frac{1}{3}\left(-\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)\right) + C = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + C$.

8) Для функции $f(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ также используется правило интегрирования сложной функции.
Здесь $g(u) = \cos u$, ее первообразная $G(u) = \sin u$, и $k=2$.
$F(x) = \int \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \,dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + C$.

1) Для нахождения данного интеграла используем свойство линейности, которое позволяет разбить интеграл суммы на сумму интегралов, и применяем табличные значения интегралов.
$ \int (3x^5 + \frac{7}{2\sqrt{x}}) dx = \int 3x^5 dx + \int \frac{7}{2\sqrt{x}} dx $
Для удобства интегрирования, представим второе слагаемое в виде степенной функции: $ \frac{7}{2\sqrt{x}} = \frac{7}{2}x^{-1/2} $.
Теперь воспользуемся формулой для интеграла степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:
$ \int 3x^5 dx = 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = 3 \cdot \frac{x^6}{6} = \frac{x^6}{2} $
$ \int \frac{7}{2}x^{-1/2} dx = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 7x^{1/2} = 7\sqrt{x} $
Объединяем полученные результаты и добавляем произвольную постоянную $C$:
$ \frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C $
Ответ: $ \frac{x^6}{2} + 7\sqrt{x} + C $

2) Разложим интеграл на два, используя свойство линейности:
$ \int (3\cos(5x) - \frac{1}{x^2}) dx = \int 3\cos(5x) dx - \int \frac{1}{x^2} dx $
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности. Для первого используем формулу $ \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C $. Для второго представим $ \frac{1}{x^2} $ как $ x^{-2} $ и применим формулу для степенной функции.
$ \int 3\cos(5x) dx = 3 \int \cos(5x) dx = 3 \cdot \frac{\sin(5x)}{5} = \frac{3}{5}\sin(5x) $
$ \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} $
Вычитаем второе из первого и добавляем константу $C$:
$ \frac{3}{5}\sin(5x) - (-\frac{1}{x}) + C = \frac{3}{5}\sin(5x) + \frac{1}{x} + C $
Ответ: $ \frac{3}{5}\sin(5x) + \frac{1}{x} + C $

3) Используем свойство линейности интеграла:
$ \int (8\sin x - \frac{2}{\sin^2(2x)}) dx = \int 8\sin x dx - \int \frac{2}{\sin^2(2x)} dx $
Находим каждый интеграл по таблице:
$ \int 8\sin x dx = 8 \int \sin x dx = -8\cos x $
$ \int \frac{2}{\sin^2(2x)} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2(2x)} dx $. Используя формулу $ \int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C $, получаем:
$ 2 \cdot (-\frac{1}{2}\cot(2x)) = -\cot(2x) $
Объединяем результаты:
$ -8\cos x - (-\cot(2x)) + C = -8\cos x + \cot(2x) + C $
Ответ: $ -8\cos x + \cot(2x) + C $

4) Интеграл представляет собой сумму и разность нескольких функций. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$ \int (2\sin(3x) - 5x^7 + 3) dx = \int 2\sin(3x) dx - \int 5x^7 dx + \int 3 dx $
$ \int 2\sin(3x) dx = 2 \int \sin(3x) dx = 2 \cdot (-\frac{1}{3}\cos(3x)) = -\frac{2}{3}\cos(3x) $
$ \int 5x^7 dx = 5 \int x^7 dx = 5 \cdot \frac{x^8}{8} = \frac{5}{8}x^8 $
$ \int 3 dx = 3x $
Собираем все части вместе и добавляем константу интегрирования $C$:
$ -\frac{2}{3}\cos(3x) - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C $
Ответ: $ -\frac{2}{3}\cos(3x) - \frac{5}{8}x^8 + 3x + C $

5) Разбиваем интеграл на разность двух интегралов:
$ \int (\frac{3}{x^7} - \frac{7}{\cos^2 x}) dx = \int \frac{3}{x^7} dx - \int \frac{7}{\cos^2 x} dx $
Для первого интеграла перепишем $ \frac{3}{x^7} = 3x^{-7} $ и применим формулу для степенной функции:
$ \int 3x^{-7} dx = 3 \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} = 3 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} = -\frac{1}{2}x^{-6} = -\frac{1}{2x^6} $
Для второго интеграла используем табличную формулу $ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C $:
$ \int \frac{7}{\cos^2 x} dx = 7 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 7\tan x $
Объединяем результаты:
$ -\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C $
Ответ: $ -\frac{1}{2x^6} - 7\tan x + C $

6) Используем свойство линейности для разделения интеграла:
$ \int (7 - \frac{5}{\sin^2 x}) dx = \int 7 dx - \int \frac{5}{\sin^2 x} dx $
Находим каждый интеграл по отдельности:
$ \int 7 dx = 7x $
$ \int \frac{5}{\sin^2 x} dx = 5 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx $. Используя табличный интеграл $ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C $, получаем:
$ 5(-\cot x) = -5\cot x $
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
$ 7x - (-5\cot x) + C = 7x + 5\cot x + C $
Ответ: $ 7x + 5\cot x + C $

1) Дана функция $f(x) = (x+1)(x+3)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:
$f(x) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования:
$F(x) = \int (x^2 + 4x + 3) dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4\frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + C$.
По условию задачи, график первообразной проходит через начало координат, что означает $F(0) = 0$. Используем это условие для нахождения константы $C$:
$F(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0)^2 + 3(0) + C = 0$.
$0 + 0 + 0 + C = 0$, откуда $C = 0$.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид:
$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x$.

2) Дана функция $f(x) = (1-x)(3+x)$.
Упростим выражение, раскрыв скобки:
$f(x) = 3 + x - 3x - x^2 = -x^2 - 2x + 3$.
Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int (-x^2 - 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x + C = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x + C$.
Используем условие $F(0) = 0$:
$F(0) = -\frac{0^3}{3} - 0^2 + 3(0) + C = 0$.
Отсюда $C = 0$.
Следовательно, искомая первообразная:
$F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.
Ответ: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{3} + \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int \left(\frac{x^2}{3} + \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right) dx = \frac{1}{3}\frac{x^3}{3} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + C = \frac{x^3}{9} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + C$.
Используем условие $F(0) = 0$:
$F(0) = \frac{0^3}{9} - \cos\left(0+\frac{\pi}{3}\right) + C = 0$.
$0 - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + C = 0$.
Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:
$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомая первообразная:
$F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{9} - \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = -\frac{x^3}{2} + \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.
Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int \left(-\frac{x^3}{2} + \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right) dx = -\frac{1}{2}\frac{x^4}{4} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + C = -\frac{x^4}{8} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + C$.
Используем условие $F(0) = 0$:
$F(0) = -\frac{0^4}{8} + \sin\left(0-\frac{\pi}{6}\right) + C = 0$.
$0 + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + C = 0$.
Так как $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$-\frac{1}{2} + C = 0$, откуда $C = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомая первообразная:
$F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$.
Ответ: $F(x) = -\frac{x^4}{8} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$.

1) $f(x) = x + 1, M(-2; 3)$

Сначала находим общий вид первообразной для функции $f(x) = x + 1$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x + 1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(-2; 3)$. Это означает, что при $x = -2$, значение функции $F(x)$ должно быть равно 3, то есть $F(-2) = 3$. Подставим эти значения в найденную формулу для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$3 = \frac{(-2)^2}{2} + (-2) + C$

$3 = \frac{4}{2} - 2 + C$

$3 = 2 - 2 + C$

$C = 3$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (1/2)} = -1$

$y_0 = F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + 3 = \frac{1}{2} - 1 + 3 = 2.5$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 2.5)$. График также проходит через заданную точку $M(-2; 3)$ и пересекает ось OY в точке $(0; 3)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + 3$

2) $f(x) = 4 + x, M(-2; 3)$

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = 4 + x$:

$F(x) = \int (4 + x) dx = 4x + \frac{x^2}{2} + C$

Используем условие, что график проходит через точку $M(-2; 3)$, т.е. $F(-2) = 3$:

$3 = 4(-2) + \frac{(-2)^2}{2} + C$

$3 = -8 + \frac{4}{2} + C$

$3 = -8 + 2 + C$

$3 = -6 + C$

$C = 9$

Искомая первообразная:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$

График этой функции — парабола с ветвями вверх. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (1/2)} = -4$

$y_0 = F(-4) = \frac{(-4)^2}{2} + 4(-4) + 9 = 8 - 16 + 9 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(-4; 1)$. График проходит через точку $M(-2; 3)$ и пересекает ось OY в точке $(0; 9)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 4x + 9$

3) $f(x) = \sin x, M(\frac{\pi}{2}; 1)$

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$:

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$

График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$, значит $F(\frac{\pi}{2}) = 1$:

$1 = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C$

$1 = -0 + C$

$C = 1$

Искомая первообразная:

$F(x) = 1 - \cos x$

График этой функции — косинусоида, отраженная относительно оси абсцисс и смещенная вверх на 1. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0; 0)$, $(\frac{\pi}{2}; 1)$ (точка M), $(\pi; 2)$, $(\frac{3\pi}{2}; 1)$, $(2\pi; 0)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = 1 - \cos x$

4) $f(x) = \cos x, M(\pi; -1)$

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos x$:

$F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$

График проходит через точку $M(\pi; -1)$, значит $F(\pi) = -1$:

$-1 = \sin(\pi) + C$

$-1 = 0 + C$

$C = -1$

Искомая первообразная:

$F(x) = \sin x - 1$

График этой функции — синусоида, смещенная вниз на 1. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0; -1)$, $(\frac{\pi}{2}; 0)$, $(\pi; -1)$ (точка M), $(\frac{3\pi}{2}; -2)$, $(2\pi; -1)$.

График функции $F(x)$:

Ответ: $F(x) = \sin x - 1$

1) Для функции $f(x) = x^{-2}$ первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(1; -1)$. Это значит, что при $x=1$, $F(1)=-1$. Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$ чтобы найти константу $C$:

$F(1) = -\frac{1}{1} + C = -1$

$-1 + C = -1$

$C = 0$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -\frac{1}{x}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x}$.

2) Для функции $f(x) = x^{-3}$ найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

График проходит через точку $M(-1; 0)$, следовательно, при $x=-1$, $F(-1)=0$. Подставим значения:

$F(-1) = -\frac{1}{2(-1)^2} + C = 0$

$-\frac{1}{2} + C = 0$

$C = \frac{1}{2}$

Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}$.

3) Для функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$ найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (2 - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = \int 2 dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2x - \tan x + C$.

График проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, поэтому при $x=\frac{\pi}{4}$, $F(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$. Подставляем значения, учитывая, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$F(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4}) - \tan(\frac{\pi}{4}) + C = \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2} - 1 + C = \frac{\pi}{2}$

$C = 1$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x - \tan x + 1$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2 x} + 1$ найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (\frac{2}{\sin^2 x} + 1) dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \int 1 dx = -2\cot x + x + C$.

График проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$, значит при $x=\frac{\pi}{4}$, $F(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}$. Подставляем значения, учитывая, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$F(\frac{\pi}{4}) = -2\cot(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

$-2(1) + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

$-2 + C = 0$

$C = 2$

Искомая первообразная: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.

Ответ: $F(x) = -2\cot x + x + 2$.