Страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x+2}$.

Для нахождения производной функции можно использовать правило дифференцирования дроби, но проще представить функцию в виде степенной: $f(x) = 5(x+2)^{-1}$.

Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции и цепное правило (производная сложной функции):

$f'(x) = (5(x+2)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-1-1} \cdot (x+2)' = -5(x+2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x+2)^2}$.

Далее найдем значение производной в точке $x_0 = 2$, подставив это значение в полученное выражение для производной:

$f'(2) = -\frac{5}{(2+2)^2} = -\frac{5}{4^2} = -\frac{5}{16}$.

Ответ: $-\frac{5}{16}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{\sin(\pi x)}{x} + x^2$.

Производная данной функции является суммой производных ее слагаемых: $f'(x) = (\frac{\sin(\pi x)}{x})' + (x^2)'$.

Для нахождения производной первого слагаемого $\frac{\sin(\pi x)}{x}$ используем правило дифференцирования дроби $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sin(\pi x)$ и $v(x) = x$.

Тогда $u'(x) = (\sin(\pi x))' = \cos(\pi x) \cdot (\pi x)' = \pi \cos(\pi x)$, а $v'(x) = (x)' = 1$.

Следовательно, $(\frac{\sin(\pi x)}{x})' = \frac{\pi \cos(\pi x) \cdot x - \sin(\pi x) \cdot 1}{x^2} = \frac{\pi x \cos(\pi x) - \sin(\pi x)}{x^2}$.

Производная второго слагаемого: $(x^2)' = 2x$.

Объединяем производные слагаемых: $f'(x) = \frac{\pi x \cos(\pi x) - \sin(\pi x)}{x^2} + 2x$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{\pi \cdot 2 \cos(2\pi) - \sin(2\pi)}{2^2} + 2 \cdot 2$.

Так как $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$, подставляем эти значения:

$f'(2) = \frac{2\pi \cdot 1 - 0}{4} + 4 = \frac{2\pi}{4} + 4 = \frac{\pi}{2} + 4$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 4$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{5x + 7x^3}}{x+2} + \tan(x)$.

Производная функции равна сумме производных: $f'(x) = \left(\frac{\sqrt{5x + 7x^3}}{x+2}\right)' + (\tan(x))'$.

Рассмотрим первое слагаемое. Для нахождения его производной используем правило дифференцирования дроби $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{5x + 7x^3}$ и $v(x) = x+2$.

Найдем производную $u'(x)$ по цепному правилу: $u'(x) = (\sqrt{5x + 7x^3})' = \frac{1}{2\sqrt{5x + 7x^3}} \cdot (5x + 7x^3)' = \frac{5 + 21x^2}{2\sqrt{5x + 7x^3}}$.

Производная $v'(x) = (x+2)' = 1$.

Производная второго слагаемого: $(\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Теперь подставим $x_0 = 2$ в выражения для $u(x)$, $v(x)$ и их производных, чтобы найти значение производной в точке.

$u(2) = \sqrt{5(2) + 7(2)^3} = \sqrt{10 + 7 \cdot 8} = \sqrt{10 + 56} = \sqrt{66}$.

$v(2) = 2+2 = 4$.

$u'(2) = \frac{5 + 21(2)^2}{2\sqrt{5(2) + 7(2)^3}} = \frac{5 + 84}{2\sqrt{66}} = \frac{89}{2\sqrt{66}}$.

$v'(2) = 1$.

Значение производной первого слагаемого в точке $x_0=2$:

$\frac{u'(2)v(2) - u(2)v'(2)}{[v(2)]^2} = \frac{\frac{89}{2\sqrt{66}} \cdot 4 - \sqrt{66} \cdot 1}{4^2} = \frac{\frac{178}{\sqrt{66}} - \sqrt{66}}{16} = \frac{\frac{178 - 66}{\sqrt{66}}}{16} = \frac{112}{16\sqrt{66}} = \frac{7}{\sqrt{66}}$.

Значение производной второго слагаемого в точке $x_0=2$: $(\tan(x))'|_{x=2} = \frac{1}{\cos^2(2)}$.

Полное значение производной $f'(2)$ равно сумме значений производных слагаемых:

$f'(2) = \frac{7}{\sqrt{66}} + \frac{1}{\cos^2(2)}$.

Ответ: $\frac{7}{\sqrt{66}} + \frac{1}{\cos^2(2)}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos^2(3x) + 3x^2$.

Производная функции равна сумме производных: $f'(x) = (\cos^2(3x))' + (3x^2)'$.

Для нахождения производной первого слагаемого $y = \cos^2(3x)$ используем цепное правило дважды. Можно рассматривать эту функцию как $y = u^2$, где $u = \cos(v)$, а $v=3x$.

$(\cos^2(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (\cos(3x))' = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = -2\cos(3x)\sin(3x) \cdot 3 = -6\sin(3x)\cos(3x)$.

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$ для упрощения:

$-6\sin(3x)\cos(3x) = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(2 \cdot 3x) = -3\sin(6x)$.

Производная второго слагаемого: $(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$.

Таким образом, производная всей функции: $f'(x) = -3\sin(6x) + 6x$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = -3\sin(6 \cdot 2) + 6 \cdot 2 = -3\sin(12) + 12 = 12 - 3\sin(12)$.

Ответ: $12 - 3\sin(12)$.

1)Жанама абсцисса осіне (Ox) параллель болса, оның бұрыштық коэффициенті $k$ нөлге тең болады. Функция графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті оның туындысының жанасу нүктесіндегі мәніне тең: $k = y'(x_0) = 0$.
Берілген функция: $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.
Оның туындысын табамыз:
$y' = (\frac{1}{x^2 + 1})' = \frac{(1)'(x^2 + 1) - 1(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$.
Туындыны нөлге теңестіреміз:
$\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} = 0$.
Бұл теңдеудің шешімі алымы нөлге тең болғанда ғана болады: $-2x = 0$, бұдан $x_0 = 0$.
Жанасу нүктесінің ординатасын табу үшін $x_0 = 0$ мәнін бастапқы функцияға қоямыз:
$y_0 = \frac{1}{0^2 + 1} = 1$.
Демек, жанама $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ функциясының графигіне $(0; 1)$ нүктесінде жүргізілгенде абсцисса осіне параллель болады.
Ответ: $(0; 1)$.

2)Жанама $y - 2x + 3 = 0$ түзуіне параллель болуы керек. Бұл түзудің теңдеуін $y = 2x - 3$ түрінде жазайық. Оның бұрыштық коэффициенті $k=2$.
Параллельдік шарты бойынша, жанаманың да бұрыштық коэффициенті 2-ге тең болуы керек.
Функцияның туындысы жанаманың бұрыштық коэффициентін береді: $y = x^2 - 3x - 3$.
$y' = (x^2 - 3x - 3)' = 2x - 3$.
Туындының мәнін 2-ге теңестіріп, жанасу нүктесінің абсциссасын ($x_0$) табамыз:
$2x_0 - 3 = 2 \implies 2x_0 = 5 \implies x_0 = 2.5$.
Енді жанасу нүктесінің ординатасын ($y_0$) табамыз:
$y_0 = (2.5)^2 - 3(2.5) - 3 = 6.25 - 7.5 - 3 = -4.25$.
Жанасу нүктесі $(2.5; -4.25)$.
Жанаманың теңдеуін $y - y_0 = k(x - x_0)$ формуласы арқылы жазамыз:
$y - (-4.25) = 2(x - 2.5)$
$y + 4.25 = 2x - 5$
$y = 2x - 9.25$.
Ответ: Жанасу нүктесінің абсциссасы 2,5; жанаманың теңдеуі $y = 2x - 9.25$.

3)Жанама $y - 4x - 4 = 0$ немесе $y = 4x + 4$ түзуіне параллель. Бұл түзудің бұрыштық коэффициенті $k=4$.
Демек, $y = x^3 + x - 7$ функциясына жүргізілген жанаманың да бұрыштық коэффициенті 4-ке тең болуы керек.
Функцияның туындысын табамыз:
$y' = (x^3 + x - 7)' = 3x^2 + 1$.
Туындыны 4-ке теңестіреміз:
$3x^2 + 1 = 4$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
Екі жанасу нүктесі бар. Олардың ординаталарын табамыз:
Егер $x_1 = 1$ болса, $y_1 = 1^3 + 1 - 7 = 1 + 1 - 7 = -5$. Нүкте: $(1; -5)$.
Егер $x_2 = -1$ болса, $y_2 = (-1)^3 + (-1) - 7 = -1 - 1 - 7 = -9$. Нүкте: $(-1; -9)$.
Ответ: $(1; -5)$ және $(-1; -9)$.

4)M(3; –6) нүктесі арқылы $y = x^2 - 6x + 5$ функциясының графигіне екі жанама жүргізілген. Осы екі жанама мен ордината осімен (Oy) құралған үшбұрыштың ауданын табу керек.
Алдымен жанамалардың теңдеулерін табамыз. Жанасу нүктесін $(x_0, y_0)$ деп белгілейік. Жанаманың жалпы теңдеуі: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
Берілген функция үшін $y_0 = x_0^2 - 6x_0 + 5$ және $f'(x_0) = 2x_0 - 6$.
Теңдеуге қоямыз: $y - (x_0^2 - 6x_0 + 5) = (2x_0 - 6)(x - x_0)$.
Жанама M(3; –6) нүктесі арқылы өтетіндіктен, оның координаталарын теңдеуге қоямыз:
$-6 - (x_0^2 - 6x_0 + 5) = (2x_0 - 6)(3 - x_0)$
$-6 - x_0^2 + 6x_0 - 5 = 6x_0 - 2x_0^2 - 18 + 6x_0$
$-x_0^2 + 6x_0 - 11 = -2x_0^2 + 12x_0 - 18$
Барлық мүшелерді сол жаққа жинақтаймыз: $x_0^2 - 6x_0 + 7 = 0$.
Бұл квадрат теңдеуді шешіп, жанасу нүктелерінің абсциссаларын табамыз:
$x_{0} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.
Екі жанасу нүктесінің абсциссалары: $x_1 = 3 + \sqrt{2}$ және $x_2 = 3 - \sqrt{2}$.
Үшбұрыштың төбелері: екі жанаманың қиылысу нүктесі (M(3; –6)) және осы жанамалардың ордината осімен (Oy) қиылысу нүктелері.
Жанаманың Oy осімен қиылысу нүктесін (y-intercept) табу үшін $y = f'(x_0)(x-x_0)+y_0$ теңдеуінде $x=0$ деп аламыз: $y_{int} = -x_0 f'(x_0) + y_0 = -x_0(2x_0-6) + (x_0^2-6x_0+5) = -2x_0^2+6x_0+x_0^2-6x_0+5 = -x_0^2+5$.
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$ үшін: $y_1 = -(3+\sqrt{2})^2+5 = -(9+6\sqrt{2}+2)+5 = -11-6\sqrt{2}+5 = -6-6\sqrt{2}$. Бірінші нүкте: $(0; -6-6\sqrt{2})$.
$x_2 = 3 - \sqrt{2}$ үшін: $y_2 = -(3-\sqrt{2})^2+5 = -(9-6\sqrt{2}+2)+5 = -11+6\sqrt{2}+5 = -6+6\sqrt{2}$. Екінші нүкте: $(0; -6+6\sqrt{2})$.
Үшбұрыштың төбелері: $A(3; -6)$, $B(0; -6-6\sqrt{2})$, $C(0; -6+6\sqrt{2})$.
Үшбұрыштың табаны BC кесіндісі Oy осінде жатыр. Оның ұзындығы:
$|y_C - y_B| = |(-6+6\sqrt{2}) - (-6-6\sqrt{2})| = |-6+6\sqrt{2}+6+6\sqrt{2}| = |12\sqrt{2}| = 12\sqrt{2}$.
Үшбұрыштың биіктігі A нүктесінен Oy осіне дейінгі қашықтық, яғни A нүктесінің x-координатасы: $h=3$.
Ауданды $S = \frac{1}{2} \cdot \text{табан} \cdot \text{биіктік}$ формуласымен есептейміз:
$S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 3 = 18\sqrt{2}$.
Ответ: $18\sqrt{2}$.

1) Берілген функция $f(x) = 2x^2 + 3x + 2$.

Алдымен функцияның туындысын табамыз:

$f'(x) = (2x^2 + 3x + 2)' = 2 \cdot 2x + 3 = 4x + 3$.

Енді $f(x) + f'(x) = 0$ теңдеуін құрастырып, шешеміз:

$(2x^2 + 3x + 2) + (4x + 3) = 0$

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

$2x^2 + (3x + 4x) + (2 + 3) = 0$

$2x^2 + 7x + 5 = 0$

Бұл квадрат теңдеуді дискриминант арқылы шешеміз:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Теңдеудің түбірлері:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-2.5; -1$.

2) Берілген функция $f(x) = 3x^2 + 18x + 8$.

Алдымен функцияның туындысын табамыз:

$f'(x) = (3x^2 + 18x + 8)' = 3 \cdot 2x + 18 = 6x + 18$.

Енді $f(x) - f'(x) < 0$ теңсіздігін құрастырып, шешеміз:

$(3x^2 + 18x + 8) - (6x + 18) < 0$

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

$3x^2 + 18x + 8 - 6x - 18 < 0$

$3x^2 + 12x - 10 < 0$

Теңсіздікті шешу үшін алдымен сәйкес квадрат теңдеудің түбірлерін табамыз: $3x^2 + 12x - 10 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 144 + 120 = 264$

Түбірлер:

$x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{264}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 66}}{6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{66}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{66}}{3}$

$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{3}$ және $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{3}$.

$3x^2 + 12x - 10 < 0$ теңсіздігі үшін параболаның тармақтары жоғары бағытталғандықтан ($a=3>0$), шешімдер аралығы түбірлердің арасында болады: $x \in (\frac{-6 - \sqrt{66}}{3}; \frac{-6 + \sqrt{66}}{3})$.

Аралықтың шекараларын жуықтап бағалайық. $\sqrt{64} = 8$ және $\sqrt{81} = 9$ болғандықтан, $\sqrt{66} \approx 8.12$.

$x_1 \approx \frac{-6 - 8.12}{3} = \frac{-14.12}{3} \approx -4.71$

$x_2 \approx \frac{-6 + 8.12}{3} = \frac{2.12}{3} \approx 0.71$

Сонымен, теңсіздіктің шешімі $x \in (-4.71; 0.71)$ аралығында жатыр.

Осы аралыққа кіретін бүтін сандар: -4, -3, -2, -1, 0.

Бұл сандардың ішіндегі ең үлкені 0 болады.

Ответ: 0.

1)Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ используется формула:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Дана функция $f(x) = 3x^2 - 5x + 12$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 3(1)^2 - 5(1) + 12 = 3 - 5 + 12 = 10$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (3x^2 - 5x + 12)' = 6x - 5$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 6(1) - 5 = 1$.
4. Подставим найденные значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:
$y = 10 + 1 \cdot (x - 1)$
$y = 10 + x - 1$
$y = x + 9$.
Ответ: $y = x + 9$.

2)Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{1 + 2x^2}}{x^3}$ и точка $x_0 = -2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = \frac{\sqrt{1 + 2(-2)^2}}{(-2)^3} = \frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 4}}{-8} = \frac{\sqrt{9}}{-8} = -\frac{3}{8}$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(\sqrt{1+2x^2})' \cdot x^3 - \sqrt{1+2x^2} \cdot (x^3)'}{(x^3)^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+2x^2}} \cdot 4x \cdot x^3 - 3x^2\sqrt{1+2x^2}}{x^6} = \frac{\frac{2x^4}{\sqrt{1+2x^2}} - 3x^2\sqrt{1+2x^2}}{x^6}$
$f'(x) = \frac{2x^4 - 3x^2(1+2x^2)}{x^6\sqrt{1+2x^2}} = \frac{2x^4 - 3x^2 - 6x^4}{x^6\sqrt{1+2x^2}} = \frac{-4x^4 - 3x^2}{x^6\sqrt{1+2x^2}}$
$f'(x) = \frac{-x^2(4x^2+3)}{x^6\sqrt{1+2x^2}} = -\frac{4x^2+3}{x^4\sqrt{1+2x^2}}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = -\frac{4(-2)^2+3}{(-2)^4\sqrt{1+2(-2)^2}} = -\frac{4 \cdot 4+3}{16\sqrt{1+8}} = -\frac{19}{16\sqrt{9}} = -\frac{19}{16 \cdot 3} = -\frac{19}{48}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}(x + 2)$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}x - \frac{38}{48} = -\frac{19}{48}x - \frac{3}{8} - \frac{19}{24}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{9}{24} - \frac{19}{24} = -\frac{19}{48}x - \frac{28}{24} = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.
Ответ: $y = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.

3)Дана функция $f(x) = 3 - \sqrt{x} - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x)$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 3 - \sqrt{1} - \frac{2}{\pi}\sin(\pi \cdot 1) = 3 - 1 - \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 2$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (3 - \sqrt{x} - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x))' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\pi}\cos(\pi x) \cdot (\pi x)'$
$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\pi}\cos(\pi x) \cdot \pi = -\frac{1}{2\sqrt{x}} - 2\cos(\pi x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{1}} - 2\cos(\pi \cdot 1) = -\frac{1}{2} - 2\cos(\pi) = -\frac{1}{2} - 2(-1) = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 2 + \frac{3}{2}(x - 1)$
$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

1)

Берілген функциялар: $f(x) = x^2 - 6x + 5$ және $g(x) = -x^2$.

Екі графикке ортақ жанаманың теңдеуін $y = kx + b$ түрінде іздейміз.

Бірінші $f(x) = x^2 - 6x + 5$ функциясы үшін $x_1$ нүктесіндегі жанаманың теңдеуін табайық. Функцияның туындысы: $f'(x) = 2x - 6$.

Жанаманың бұрыштық коэффициенті $k = f'(x_1) = 2x_1 - 6$.

Жанаманың жалпы теңдеуі $y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1)$. Осыдан $y = (x_1^2 - 6x_1 + 5) + (2x_1 - 6)(x - x_1)$.

Теңдеуді $y = kx + b$ түріне келтіреміз:

$y = (2x_1 - 6)x - x_1(2x_1 - 6) + x_1^2 - 6x_1 + 5$

$y = (2x_1 - 6)x - 2x_1^2 + 6x_1 + x_1^2 - 6x_1 + 5$

$y = (2x_1 - 6)x - x_1^2 + 5$

Олай болса, $k = 2x_1 - 6$ және $b = -x_1^2 + 5$.

Екінші $g(x) = -x^2$ функциясы үшін $x_2$ нүктесіндегі жанаманың теңдеуін табайық. Функцияның туындысы: $g'(x) = -2x$.

Жанаманың бұрыштық коэффициенті $k = g'(x_2) = -2x_2$.

Жанаманың теңдеуі: $y = g(x_2) + g'(x_2)(x - x_2) = -x_2^2 - 2x_2(x - x_2)$.

$y = -2x_2 x + 2x_2^2 - x_2^2 = -2x_2 x + x_2^2$

Олай болса, $k = -2x_2$ және $b = x_2^2$.

Ортақ жанама үшін $k$ және $b$ мәндері бірдей болуы керек. Сондықтан теңдеулер жүйесін құрамыз:

1. $2x_1 - 6 = -2x_2$

2. $-x_1^2 + 5 = x_2^2$

Бірінші теңдеуден $x_2$ өрнегін табамыз: $x_1 - 3 = -x_2$, яғни $x_2 = 3 - x_1$.

Енді $x_2$ мәнін екінші теңдеуге қоямыз:

$-x_1^2 + 5 = (3 - x_1)^2$

$-x_1^2 + 5 = 9 - 6x_1 + x_1^2$

$2x_1^2 - 6x_1 + 4 = 0$

Теңдеуді 2-ге бөлеміз: $x_1^2 - 3x_1 + 2 = 0$.

Бұл квадрат теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_1 = 2$. Демек, екі ортақ жанама бар.

1-жағдай: $x_1 = 1$.

$k = 2(1) - 6 = -4$.

$b = -(1)^2 + 5 = 4$.

Бірінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = -4x + 4$.

2-жағдай: $x_1 = 2$.

$k = 2(2) - 6 = -2$.

$b = -(2)^2 + 5 = 1$.

Екінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = -2x + 1$.

Ответ: $y = -4x + 4$ және $y = -2x + 1$.

2)

Берілген функциялар: $f(x) = -x^2 + 6x - 2$ және $g(x) = 4x^2$.

Ортақ жанаманың теңдеуін $y = kx + b$ деп алайық.

Бірінші $f(x) = -x^2 + 6x - 2$ функциясы үшін $x_1$ нүктесіндегі жанаманы қарастырайық. Туындысы: $f'(x) = -2x + 6$.

Жанаманың коэффициенттері: $k = f'(x_1) = -2x_1 + 6$.

$b = f(x_1) - f'(x_1)x_1 = (-x_1^2 + 6x_1 - 2) - (-2x_1 + 6)x_1 = -x_1^2 + 6x_1 - 2 + 2x_1^2 - 6x_1 = x_1^2 - 2$.

Сонымен, $k = -2x_1 + 6$ және $b = x_1^2 - 2$.

Екінші $g(x) = 4x^2$ функциясы үшін $x_2$ нүктесіндегі жанаманы қарастырайық. Туындысы: $g'(x) = 8x$.

Жанаманың коэффициенттері: $k = g'(x_2) = 8x_2$.

$b = g(x_2) - g'(x_2)x_2 = 4x_2^2 - (8x_2)x_2 = 4x_2^2 - 8x_2^2 = -4x_2^2$.

Сонымен, $k = 8x_2$ және $b = -4x_2^2$.

Ортақ жанама үшін коэффициенттерді теңестіріп, теңдеулер жүйесін аламыз:

1. $-2x_1 + 6 = 8x_2$

2. $x_1^2 - 2 = -4x_2^2$

Бірінші теңдеуден $x_2$ табамыз: $x_2 = \frac{-2x_1 + 6}{8} = \frac{3 - x_1}{4}$.

Осыны екінші теңдеуге қоямыз:

$x_1^2 - 2 = -4 \left(\frac{3 - x_1}{4}\right)^2 = -4 \frac{(3 - x_1)^2}{16} = -\frac{(3 - x_1)^2}{4}$

$4(x_1^2 - 2) = -(9 - 6x_1 + x_1^2)$

$4x_1^2 - 8 = -9 + 6x_1 - x_1^2$

$5x_1^2 - 6x_1 + 1 = 0$

Бұл квадрат теңдеуді шешеміз. Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4(5)(1) = 36 - 20 = 16$.

$x_{1,1} = \frac{6 + \sqrt{16}}{10} = \frac{6 + 4}{10} = 1$.

$x_{1,2} = \frac{6 - \sqrt{16}}{10} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Екі ортақ жанама бар.

1-жағдай: $x_1 = 1$.

$k = -2(1) + 6 = 4$.

$b = (1)^2 - 2 = -1$.

Бірінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = 4x - 1$.

2-жағдай: $x_1 = \frac{1}{5}$.

$k = -2\left(\frac{1}{5}\right) + 6 = -\frac{2}{5} + \frac{30}{5} = \frac{28}{5}$.

$b = \left(\frac{1}{5}\right)^2 - 2 = \frac{1}{25} - \frac{50}{25} = -\frac{49}{25}$.

Екінші ортақ жанаманың теңдеуі: $y = \frac{28}{5}x - \frac{49}{25}$.

Ответ: $y = 4x - 1$ және $y = \frac{28}{5}x - \frac{49}{25}$.

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{2x}{x+1}\right)' = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

3. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. Уравнение $\frac{2}{(x+1)^2} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 2. Производная не определена в точке $x=-1$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Определим знак производной на области определения. Числитель $2$ положителен. Знаменатель $(x+1)^2$ положителен для всех $x \neq -1$. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Это означает, что функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$; интервалов убывания нет.

2) $f(x) = \frac{x^2}{x-2}$

1. Область определения функции: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^2}{x-2}\right)' = \frac{(x^2)'(x-2) - x^2(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - x^2 \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x(x-4)}{(x-2)^2} = 0 \implies x(x-4) = 0$. Отсюда критические точки: $x_1=0$ и $x_2=4$. Производная не определена в точке $x=2$, которая является точкой разрыва функции.

4. Точки $x=0, x=2, x=4$ разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак $f'(x)$ в каждом интервале. Знак производной зависит от знака числителя $x(x-4)$, так как знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен.

- На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(2; 4)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(4; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$; интервалы убывания: $[0; 2)$ и $(2; 4]$.

3) $f(x) = \frac{x}{25-x^2}$

1. Область определения функции: $25-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25 \implies x \neq \pm 5$. $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x}{25-x^2}\right)' = \frac{(x)'(25-x^2) - x(25-x^2)'}{(25-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2+2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{x^2+25}{(25-x^2)^2} = 0$, не имеет действительных решений, так как числитель $x^2+25$ всегда больше нуля. Производная не определена при $x=\pm 5$, но эти точки не входят в область определения.

4. Определим знак производной. Числитель $x^2+25$ всегда положителен. Знаменатель $(25-x^2)^2$ также всегда положителен на области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in D(f)$.

Функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$; интервалов убывания нет.

4) $f(x) = \frac{x^2-9}{x^2-4}$

1. Область определения функции: $x^2-4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^2-9}{x^2-4}\right)' = \frac{(x^2-9)'(x^2-4) - (x^2-9)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3-8x-(2x^3-18x)}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \implies \frac{10x}{(x^2-4)^2} = 0 \implies 10x=0 \implies x=0$. Точки разрыва: $x=\pm 2$.

4. Точки $x=-2, x=0, x=2$ разбивают числовую прямую на интервалы. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $10x$, так как знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен.

- На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$: $10x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервалах $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$: $10x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: интервалы возрастания: $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$; интервалы убывания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$.

5) $f(x) = 4\sqrt{x}(2-x)$

1. Область определения функции: $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

2. Для удобства раскроем скобки: $f(x) = 8\sqrt{x} - 4x\sqrt{x} = 8x^{1/2} - 4x^{3/2}$. Найдем производную:

$f'(x) = (8x^{1/2} - 4x^{3/2})' = 8 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 4x^{-1/2} - 6x^{1/2} = \frac{4}{\sqrt{x}} - 6\sqrt{x} = \frac{4-6x}{\sqrt{x}}$.

3. Найдем критические точки. $f'(x) = 0 \implies 4-6x=0 \implies x=4/6 = 2/3$. Производная не определена при $x=0$, это граничная точка области определения.

4. Точки $x=0$ и $x=2/3$ определяют интервалы $[0; 2/3)$ и $(2/3; +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $4-6x$.

- На интервале $(0; 2/3)$: $4-6x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(2/3; +\infty)$: $4-6x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: интервал возрастания: $[0; 2/3]$; интервал убывания: $[2/3; +\infty)$.

6) $f(x) = 4\sqrt{x+1}(3-x)$

1. Область определения функции: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. $D(f) = [-1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v+uv'$:

$f'(x) = (4\sqrt{x+1})'(3-x) + 4\sqrt{x+1}(3-x)' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot (3-x) + 4\sqrt{x+1} \cdot (-1) = \frac{2(3-x)}{\sqrt{x+1}} - 4\sqrt{x+1}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(3-x) - 4\sqrt{x+1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} = \frac{6-2x - 4(x+1)}{\sqrt{x+1}} = \frac{6-2x-4x-4}{\sqrt{x+1}} = \frac{2-6x}{\sqrt{x+1}}$.

3. Найдем критические точки. $f'(x) = 0 \implies 2-6x=0 \implies x=2/6=1/3$. Производная не определена при $x=-1$, это граничная точка области определения.

4. Точки $x=-1$ и $x=1/3$ определяют интервалы $[-1; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $2-6x$.

- На интервале $(-1; 1/3)$: $2-6x > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(1/3; +\infty)$: $2-6x < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: интервал возрастания: $[-1; 1/3]$; интервал убывания: $[1/3; +\infty)$.