Номер 9, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Жанама абсцисса осіне (Ox) параллель болса, оның бұрыштық коэффициенті $k$ нөлге тең болады. Функция графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті оның туындысының жанасу нүктесіндегі мәніне тең: $k = y'(x_0) = 0$.
Берілген функция: $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.
Оның туындысын табамыз:
$y' = (\frac{1}{x^2 + 1})' = \frac{(1)'(x^2 + 1) - 1(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$.
Туындыны нөлге теңестіреміз:
$\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} = 0$.
Бұл теңдеудің шешімі алымы нөлге тең болғанда ғана болады: $-2x = 0$, бұдан $x_0 = 0$.
Жанасу нүктесінің ординатасын табу үшін $x_0 = 0$ мәнін бастапқы функцияға қоямыз:
$y_0 = \frac{1}{0^2 + 1} = 1$.
Демек, жанама $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ функциясының графигіне $(0; 1)$ нүктесінде жүргізілгенде абсцисса осіне параллель болады.
Ответ: $(0; 1)$.

2)Жанама $y - 2x + 3 = 0$ түзуіне параллель болуы керек. Бұл түзудің теңдеуін $y = 2x - 3$ түрінде жазайық. Оның бұрыштық коэффициенті $k=2$.
Параллельдік шарты бойынша, жанаманың да бұрыштық коэффициенті 2-ге тең болуы керек.
Функцияның туындысы жанаманың бұрыштық коэффициентін береді: $y = x^2 - 3x - 3$.
$y' = (x^2 - 3x - 3)' = 2x - 3$.
Туындының мәнін 2-ге теңестіріп, жанасу нүктесінің абсциссасын ($x_0$) табамыз:
$2x_0 - 3 = 2 \implies 2x_0 = 5 \implies x_0 = 2.5$.
Енді жанасу нүктесінің ординатасын ($y_0$) табамыз:
$y_0 = (2.5)^2 - 3(2.5) - 3 = 6.25 - 7.5 - 3 = -4.25$.
Жанасу нүктесі $(2.5; -4.25)$.
Жанаманың теңдеуін $y - y_0 = k(x - x_0)$ формуласы арқылы жазамыз:
$y - (-4.25) = 2(x - 2.5)$
$y + 4.25 = 2x - 5$
$y = 2x - 9.25$.
Ответ: Жанасу нүктесінің абсциссасы 2,5; жанаманың теңдеуі $y = 2x - 9.25$.

3)Жанама $y - 4x - 4 = 0$ немесе $y = 4x + 4$ түзуіне параллель. Бұл түзудің бұрыштық коэффициенті $k=4$.
Демек, $y = x^3 + x - 7$ функциясына жүргізілген жанаманың да бұрыштық коэффициенті 4-ке тең болуы керек.
Функцияның туындысын табамыз:
$y' = (x^3 + x - 7)' = 3x^2 + 1$.
Туындыны 4-ке теңестіреміз:
$3x^2 + 1 = 4$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
Екі жанасу нүктесі бар. Олардың ординаталарын табамыз:
Егер $x_1 = 1$ болса, $y_1 = 1^3 + 1 - 7 = 1 + 1 - 7 = -5$. Нүкте: $(1; -5)$.
Егер $x_2 = -1$ болса, $y_2 = (-1)^3 + (-1) - 7 = -1 - 1 - 7 = -9$. Нүкте: $(-1; -9)$.
Ответ: $(1; -5)$ және $(-1; -9)$.

4)M(3; –6) нүктесі арқылы $y = x^2 - 6x + 5$ функциясының графигіне екі жанама жүргізілген. Осы екі жанама мен ордината осімен (Oy) құралған үшбұрыштың ауданын табу керек.
Алдымен жанамалардың теңдеулерін табамыз. Жанасу нүктесін $(x_0, y_0)$ деп белгілейік. Жанаманың жалпы теңдеуі: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
Берілген функция үшін $y_0 = x_0^2 - 6x_0 + 5$ және $f'(x_0) = 2x_0 - 6$.
Теңдеуге қоямыз: $y - (x_0^2 - 6x_0 + 5) = (2x_0 - 6)(x - x_0)$.
Жанама M(3; –6) нүктесі арқылы өтетіндіктен, оның координаталарын теңдеуге қоямыз:
$-6 - (x_0^2 - 6x_0 + 5) = (2x_0 - 6)(3 - x_0)$
$-6 - x_0^2 + 6x_0 - 5 = 6x_0 - 2x_0^2 - 18 + 6x_0$
$-x_0^2 + 6x_0 - 11 = -2x_0^2 + 12x_0 - 18$
Барлық мүшелерді сол жаққа жинақтаймыз: $x_0^2 - 6x_0 + 7 = 0$.
Бұл квадрат теңдеуді шешіп, жанасу нүктелерінің абсциссаларын табамыз:
$x_{0} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.
Екі жанасу нүктесінің абсциссалары: $x_1 = 3 + \sqrt{2}$ және $x_2 = 3 - \sqrt{2}$.
Үшбұрыштың төбелері: екі жанаманың қиылысу нүктесі (M(3; –6)) және осы жанамалардың ордината осімен (Oy) қиылысу нүктелері.
Жанаманың Oy осімен қиылысу нүктесін (y-intercept) табу үшін $y = f'(x_0)(x-x_0)+y_0$ теңдеуінде $x=0$ деп аламыз: $y_{int} = -x_0 f'(x_0) + y_0 = -x_0(2x_0-6) + (x_0^2-6x_0+5) = -2x_0^2+6x_0+x_0^2-6x_0+5 = -x_0^2+5$.
$x_1 = 3 + \sqrt{2}$ үшін: $y_1 = -(3+\sqrt{2})^2+5 = -(9+6\sqrt{2}+2)+5 = -11-6\sqrt{2}+5 = -6-6\sqrt{2}$. Бірінші нүкте: $(0; -6-6\sqrt{2})$.
$x_2 = 3 - \sqrt{2}$ үшін: $y_2 = -(3-\sqrt{2})^2+5 = -(9-6\sqrt{2}+2)+5 = -11+6\sqrt{2}+5 = -6+6\sqrt{2}$. Екінші нүкте: $(0; -6+6\sqrt{2})$.
Үшбұрыштың төбелері: $A(3; -6)$, $B(0; -6-6\sqrt{2})$, $C(0; -6+6\sqrt{2})$.
Үшбұрыштың табаны BC кесіндісі Oy осінде жатыр. Оның ұзындығы:
$|y_C - y_B| = |(-6+6\sqrt{2}) - (-6-6\sqrt{2})| = |-6+6\sqrt{2}+6+6\sqrt{2}| = |12\sqrt{2}| = 12\sqrt{2}$.
Үшбұрыштың биіктігі A нүктесінен Oy осіне дейінгі қашықтық, яғни A нүктесінің x-координатасы: $h=3$.
Ауданды $S = \frac{1}{2} \cdot \text{табан} \cdot \text{биіктік}$ формуласымен есептейміз:
$S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 3 = 18\sqrt{2}$.
Ответ: $18\sqrt{2}$.