Номер 3, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы найти период функции $y = 2\tg(3x) + \sin(\frac{x}{2})$, нужно найти периоды каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).
Функция состоит из двух слагаемых: $f(x) = 2\tg(3x)$ и $g(x) = \sin(\frac{x}{2})$.
1. Найдем период $T_1$ для $f(x) = 2\tg(3x)$. Основной период тангенса $\tg(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $A\tg(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=3$.
$T_1 = \frac{\pi}{3}$.
2. Найдем период $T_2$ для $g(x) = \sin(\frac{x}{2})$. Основной период синуса $\sin(t)$ равен $2\pi$. Период функции вида $A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=\frac{1}{2}$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
3. Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{3}, 4\pi)$.
Чтобы найти НОК, нужно найти такие целые числа $n_1$ и $n_2$, что $T = n_1 \cdot T_1 = n_2 \cdot T_2$.
$n_1 \cdot \frac{\pi}{3} = n_2 \cdot 4\pi$.
$\frac{n_1}{3} = 4n_2 \implies n_1 = 12n_2$.
Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2=1$ и $n_1=12$.
Тогда $T = 12 \cdot \frac{\pi}{3} = 4\pi$ или $T = 1 \cdot 4\pi = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$

2) Рассмотрим функцию $y = 2\ctg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + \cos(x) - 2$.
Период функции не изменяется при сложении с константой, поэтому слагаемое $-2$ можно не учитывать при нахождении периода.
Функция является суммой двух периодических функций: $f(x) = 2\ctg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$ и $g(x) = \cos(x)$.
1. Найдем период $T_1$ для $f(x) = 2\ctg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$. Основной период котангенса $\ctg(t)$ равен $\pi$. Период функции вида $A\ctg(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=\frac{1}{2}$.
$T_1 = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.
2. Найдем период $T_2$ для $g(x) = \cos(x)$. Основной период косинуса $\cos(x)$ равен $2\pi$.
$T_2 = 2\pi$.
3. Период суммы функций равен наименьшему общему кратному их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$

3) Рассмотрим функцию $y = \tg(x) \cdot \ctg(x) - 2$.
Основное тригонометрическое тождество гласит, что $\tg(x) \cdot \ctg(x) = 1$. Однако это тождество справедливо только там, где обе функции, $\tg(x)$ и $\ctg(x)$, определены.
Область определения $\tg(x)$ — все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число.
Область определения $\ctg(x)$ — все $x$, кроме $x = k\pi$, где $k$ — целое число.
Объединяя эти условия, получаем, что область определения исходной функции $y$ — это все действительные числа, за исключением точек вида $x = \frac{m\pi}{2}$ для любого целого $m$.
На всей своей области определения функция принимает постоянное значение: $y = 1 - 2 = -1$.
Хотя значение функции постоянно, она не является непрерывной константой на всей числовой прямой. Период такой функции определяется периодичностью ее области определения. Наименьшее положительное число $T$, на которое можно сдвинуть область определения, чтобы она совпала сама с собой, и является периодом функции.
Множество "выколотых" точек $\{ \frac{m\pi}{2} | m \in \mathbb{Z} \}$ имеет наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

4) Чтобы найти период функции $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3\sin(4x)$, нужно найти периоды каждого слагаемого и затем их наименьшее общее кратное (НОК).
Функция состоит из двух слагаемых: $f(x) = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$ и $g(x) = 3\sin(4x)$.
1. Найдем период $T_1$ для $f(x) = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Основной период косинуса $\cos(t)$ равен $2\pi$. Период функции вида $A\cos(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$.
$T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Найдем период $T_2$ для $g(x) = 3\sin(4x)$. Основной период синуса $\sin(t)$ равен $2\pi$. Период функции вида $A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=4$.
$T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
3. Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, \frac{\pi}{2})$.
Мы ищем наименьшее положительное число $T$, для которого существуют натуральные числа $n_1$ и $n_2$ такие, что $T = n_1 \cdot T_1 = n_2 \cdot T_2$.
$n_1 \cdot \pi = n_2 \cdot \frac{\pi}{2}$.
$n_1 = \frac{n_2}{2}$.
Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2=2$ и $n_1=1$.
Тогда $T = 1 \cdot \pi = \pi$ или $T = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$