Номер 1, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y=\sin x$.

1. Сначала строим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $T = 2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

2. Затем строим график функции $y = \sin(\frac{x}{2})$. Аргумент $x$ умножается на коэффициент $\frac{1}{2}$, что соответствует растяжению графика вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Наконец, строим график функции $y = 2 + \sin(\frac{x}{2})$. Это сдвиг предыдущего графика вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Ось симметрии синусоиды перемещается с $y=0$ на $y=2$. Область значений функции становится $[2-1, 2+1]$, то есть $[1, 3]$.

Ключевые точки одного периода:

• При $x=0$, $y = 2 + \sin(0) = 2$.

• При $x=\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 + 1 = 3$ (максимум).

• При $x=2\pi$, $y = 2 + \sin(\pi) = 2$.

• При $x=3\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 - 1 = 1$ (минимум).

• При $x=4\pi$, $y = 2 + \sin(2\pi) = 2$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$ — это синусоида с периодом $4\pi$, смещенная на 2 единицы вверх по оси Oy. Амплитуда колебаний равна 1, область значений функции — $[1, 3]$.

2) $y = 2\tg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Для построения графика выполним преобразования графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Перепишем функцию в виде $y = 2\tg\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$.

2. Строим график $y = \tg x$. Период $T=\pi$, вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Строим $y = \tg(\frac{x}{2})$. Растяжение вдоль оси Ox в 2 раза. Период $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Асимптоты: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \pi + 2k\pi$.

4. Строим $y = \tg\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{2}$. Асимптоты смещаются вправо: $x = \pi + \frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$. Нули функции: $\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) = k\pi \Rightarrow x - \frac{\pi}{2} = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

5. Строим $y = 2\tg\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза. Значения функции в каждой точке (кроме нулей) удваиваются.

Ответ: График функции $y = 2\tg(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$ — это тангенсоида с периодом $2\pi$, сдвинутая вправо на $\frac{\pi}{2}$ и растянутая в 2 раза вдоль оси Oy. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \tg x \cdot \ctg x + 1$

Прежде чем строить график, найдем область определения функции (ОДЗ).

• Функция $\tg x$ определена, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Функция $\ctg x$ определена, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что функция не определена в точках $x = \frac{m\pi}{2}$ для любого целого $m$.

В области определения функции справедливо тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$.

Таким образом, наша функция упрощается до $y = 1 + 1 = 2$ при условии $x \neq \frac{m\pi}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Графиком является прямая линия $y=2$, из которой "выколоты" точки с абсциссами $x = ..., -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, ...$

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y=2$ с выколотыми точками в местах, где $x = \frac{k\pi}{2}$ для всех целых $k$.

4) $y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 3$

Для построения графика выполним преобразования графика $y = \cos x$.

1. Перепишем функцию в виде $y = 2\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 3$.

2. Строим график $y = \cos x$. Период $T=2\pi$, область значений $[-1, 1]$.

3. Строим $y = \cos(2x)$. Сжатие вдоль оси Ox в 2 раза. Период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

4. Строим $y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$ (фазовый сдвиг).

5. Строим $y = 2\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда становится равной 2. Область значений $[-2, 2]$.

6. Строим $y = 2\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 3$. Сдвиг вверх на 3 единицы. Ось симметрии $y=3$. Область значений $[3-2, 3+2]$, то есть $[1, 5]$.

Ключевые точки одного периода: Максимум косинуса достигается, когда его аргумент равен $2k\pi$. $2(x-\frac{\pi}{6}) = 0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$. В этой точке $y=2\cos(0)+3 = 5$.

• Максимум: $(\frac{\pi}{6}, 5)$.

• Минимум: сдвинут на половину периода от максимума, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$. В этой точке $y = 2\cos(\pi)+3 = 1$.

Ответ: График функции — это косинусоида с периодом $\pi$, сдвинутая вправо на $\frac{\pi}{6}$ и вверх на 3. Амплитуда колебаний равна 2, область значений — $[1, 5]$.