Номер 6, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $2\sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) \ge \frac{1}{2}$

Используем формулу приведения для синуса: $\sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(x)$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$2(-\cos x)^2 \ge \frac{1}{2}$

$2\cos^2 x \ge \frac{1}{2}$

Разделим обе части на 2:

$\cos^2 x \ge \frac{1}{4}$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

$\frac{1+\cos(2x)}{2} \ge \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1+\cos(2x) \ge \frac{1}{2}$

$\cos(2x) \ge -\frac{1}{2}$

Пусть $y = 2x$. Тогда неравенство принимает вид $\cos y \ge -\frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой косинус (абсцисса) больше или равен $-\frac{1}{2}$. Это соответствует углам от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.

С учетом периодичности функции косинуса, общее решение для $y$ будет:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le y \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $y=2x$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg}3x - \sqrt{3} \ge 0$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$\text{ctg}3x \ge \sqrt{3}$

Сделаем замену переменной: пусть $y = 3x$. Неравенство примет вид:

$\text{ctg} y \ge \sqrt{3}$

Функция котангенса является периодической с периодом $\pi$ и убывающей на каждом из своих интервалов определения $(\pi k; \pi(k+1))$.

Найдем решение уравнения $\text{ctg} y = \sqrt{3}$. Основное решение $y = \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $\text{ctg} y$ убывает, неравенство $\text{ctg} y \ge \sqrt{3}$ выполняется для значений $y$, которые меньше или равны $\frac{\pi}{6}$, но больше, чем левая граница области определения. В основном интервале $(0, \pi)$ это будет $0 < y \le \frac{\pi}{6}$.

Учитывая периодичность, общее решение для $y$ имеет вид:

$\pi k < y \le \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену $y=3x$:

$\pi k < 3x \le \frac{\pi}{6} + \pi k$

Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$\frac{\pi k}{3} < x \le \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$.