Номер 4, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $ \sin{x} - \sqrt{2} \sin{3x} = -\sin{5x} $

Перенесем $ \sin{5x} $ в левую часть уравнения:

$ \sin{x} + \sin{5x} - \sqrt{2} \sin{3x} = 0 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ 2\sin{\frac{x+5x}{2}}\cos{\frac{5x-x}{2}} - \sqrt{2} \sin{3x} = 0 $

$ 2\sin{3x}\cos{2x} - \sqrt{2} \sin{3x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin{3x} $ за скобки:

$ \sin{3x}(2\cos{2x} - \sqrt{2}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $ \sin{3x} = 0 $

$ 3x = \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in Z $

б) $ 2\cos{2x} - \sqrt{2} = 0 $

$ 2\cos{2x} = \sqrt{2} $

$ \cos{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ 2x = \pm\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 2\pi n, \quad n \in Z $

$ 2x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $

$ x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{3}, \quad x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad k, n \in Z $.

2) $ \sin{3x} - \sqrt{3} \cos{2x} = \sin{x} $

Перегруппируем члены уравнения:

$ \sin{3x} - \sin{x} = \sqrt{3} \cos{2x} $

Применим формулу разности синусов $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ 2\cos{\frac{3x+x}{2}}\sin{\frac{3x-x}{2}} = \sqrt{3} \cos{2x} $

$ 2\cos{2x}\sin{x} = \sqrt{3} \cos{2x} $

$ 2\cos{2x}\sin{x} - \sqrt{3} \cos{2x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos{2x} $ за скобки:

$ \cos{2x}(2\sin{x} - \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $ \cos{2x} = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z $

б) $ 2\sin{x} - \sqrt{3} = 0 $

$ 2\sin{x} = \sqrt{3} $

$ \sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ x = (-1)^n \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \pi n, \quad n \in Z $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad k, n \in Z $.

3) $ \cos(70^\circ + x)\cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2} $

Применим формулу произведения косинусов $ \cos{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $:

$ \frac{1}{2}(\cos((70^\circ + x) + (x - 20^\circ)) + \cos((70^\circ + x) - (x - 20^\circ))) = \frac{1}{2} $

$ \cos(2x + 50^\circ) + \cos(90^\circ) = 1 $

Так как $ \cos(90^\circ) = 0 $:

$ \cos(2x + 50^\circ) = 1 $

Это частный случай, уравнение решается следующим образом:

$ 2x + 50^\circ = 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ 2x = -50^\circ + 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ x = -25^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $

Ответ: $ x = -25^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $.

4) $ 2\sin(40^\circ + x)\sin(x - 50^\circ) + 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть:

$ 2\sin(40^\circ + x)\sin(x - 50^\circ) = -1 $

Можно представить $ \sin(x - 50^\circ) $ как $ -\sin(50^\circ - x) $:

$ -2\sin(40^\circ + x)\sin(50^\circ - x) = -1 $

$ 2\sin(x + 40^\circ)\sin(50^\circ - x) = 1 $

Применим формулу произведения синусов $ 2\sin{\alpha}\sin{\beta} = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $:

$ \cos((x + 40^\circ) - (50^\circ - x)) - \cos((x + 40^\circ) + (50^\circ - x)) = 1 $

$ \cos(2x - 10^\circ) - \cos(90^\circ) = 1 $

Так как $ \cos(90^\circ) = 0 $:

$ \cos(2x - 10^\circ) = 1 $

$ 2x - 10^\circ = 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ 2x = 10^\circ + 360^\circ k, \quad k \in Z $

$ x = 5^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $

Ответ: $ x = 5^\circ + 180^\circ k, \quad k \in Z $.

5) $ 4\cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} + 3\sin^2{x} - 3 = 0 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 $, чтобы заменить 3:

$ 4\cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} + 3\sin^2{x} - 3(\sin^2{x} + \cos^2{x}) = 0 $

$ 4\cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} + 3\sin^2{x} - 3\sin^2{x} - 3\cos^2{x} = 0 $

Приводим подобные члены:

$ \cos^2{x} + \sin{x}\cos{x} = 0 $

Выносим $ \cos{x} $ за скобки:

$ \cos{x}(\cos{x} + \sin{x}) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \cos{x} = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $

б) $ \cos{x} + \sin{x} = 0 $

$ \sin{x} = -\cos{x} $

Разделим обе части на $ \cos{x} $ (при условии, что $ \cos{x} \neq 0 $, что верно, так как если $ \cos{x}=0 $, то и $ \sin{x}=0 $, а это невозможно):

$ \tan{x} = -1 $

$ x = \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in Z $

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad k, n \in Z $.

6) $ \cos^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} = -1 $

Перенесем 1 в левую часть и заменим по основному тригонометрическому тождеству $ 1 = \sin^2{x} + \cos^2{x} $:

$ \cos^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} + 1 = 0 $

$ \cos^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} + (\sin^2{x} + \cos^2{x}) = 0 $

Приводим подобные члены:

$ \sin^2{x} - 3\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2{x} = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, является ли $ \cos{x}=0 $ решением. Если $ \cos{x}=0 $, то из уравнения следует $ \sin^2{x}=0 $, что невозможно одновременно. Значит, $ \cos{x} \neq 0 $.

Разделим обе части уравнения на $ \cos^2{x} $:

$ \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \frac{3\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}} + \frac{2\cos^2{x}}{\cos^2{x}} = 0 $

$ \tan^2{x} - 3\tan{x} + 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan{x} $:

$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Возвращаемся к замене:

а) $ \tan{x} = 1 $

$ x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z $

б) $ \tan{x} = 2 $

$ x = \arctan(2) + \pi n, \quad n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = \arctan(2) + \pi n, \quad k, n \in Z $.