Номер 5, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $ \sin x + \sin 2x - \cos x = 2\cos^2 x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ \sin x + \sin 2x - \cos x - 2\cos^2 x = 0 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ \sin x + 2\sin x \cos x - \cos x - 2\cos^2 x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ (\sin x + 2\sin x \cos x) - (\cos x + 2\cos^2 x) = 0 $

$ \sin x (1 + 2\cos x) - \cos x (1 + 2\cos x) = 0 $

$ (\sin x - \cos x)(1 + 2\cos x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

a) $ \sin x - \cos x = 0 $

$ \sin x = \cos x $

Разделим обе части на $ \cos x $ (при условии, что $ \cos x \neq 0 $). Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin x = \pm 1 $, следовательно $ \sin x \neq \cos x $. Значит, деление возможно.

$ \tan x = 1 $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

б) $ 1 + 2\cos x = 0 $

$ 2\cos x = -1 $

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z; \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z. $

2) $ \sin^4 x - \cos^4 x = -\sin^4 x $

Перенесем $ -\sin^4 x $ в левую часть:

$ 2\sin^4 x - \cos^4 x = 0 $

Заметим, что $ \cos x \neq 0 $, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что $ 2\sin^4 x = 0 $, то есть $ \sin x = 0 $. Но $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть одновременно равны нулю. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^4 x $:

$ \frac{2\sin^4 x}{\cos^4 x} - \frac{\cos^4 x}{\cos^4 x} = 0 $

$ 2\tan^4 x - 1 = 0 $

$ \tan^4 x = \frac{1}{2} $

Извлечем корень четвертой степени:

$ \tan x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}} $

Отсюда находим решения:

$ x = \arctan\left(\pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right) + \pi n, n \in Z $

Это можно записать как две серии решений или в более компактной форме:

$ x = \pm \arctan\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right) + \pi n, n \in Z $

Ответ: $ x = \pm \arctan\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right) + \pi n, n \in Z. $

3) $ 2\sin 2x - \sin^2 x = 3\cos^2 x $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2(2\sin x \cos x) - \sin^2 x = 3\cos^2 x $

$ 4\sin x \cos x - \sin^2 x - 3\cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя в уравнение, получаем $ 0 - 1 - 0 = 0 $, что неверно. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 4\tan x - \tan^2 x - 3 = 0 $

Умножим на -1 и переставим слагаемые, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения относительно $ \tan x $:

$ \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $:

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 3 $.

Вернемся к замене:

a) $ \tan x = 1 $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

б) $ \tan x = 3 $

$ x = \arctan(3) + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z; \quad x = \arctan(3) + \pi k, k \in Z. $

4) $ 1 - \sin 2x = \frac{\cos x}{|\cos x|} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $.

Выражение в правой части может принимать только два значения:

- $ \frac{\cos x}{|\cos x|} = 1 $, если $ \cos x > 0 $

- $ \frac{\cos x}{|\cos x|} = -1 $, если $ \cos x < 0 $

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $ \cos x > 0 $. Уравнение принимает вид:

$ 1 - \sin 2x = 1 $

$ -\sin 2x = 0 $

$ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n, n \in Z $

$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

Теперь выберем из этих решений те, которые удовлетворяют условию $ \cos x > 0 $.

Если $ n = 0, x = 0 \implies \cos 0 = 1 > 0 $ (подходит).

Если $ n = 1, x = \frac{\pi}{2} \implies \cos \frac{\pi}{2} = 0 $ (не входит в ОДЗ).

Если $ n = 2, x = \pi \implies \cos \pi = -1 < 0 $ (не подходит).

Если $ n = 3, x = \frac{3\pi}{2} \implies \cos \frac{3\pi}{2} = 0 $ (не входит в ОДЗ).

Если $ n = 4, x = 2\pi \implies \cos 2\pi = 1 > 0 $ (подходит).

Подходят значения $ x $ вида $ 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Случай 2: $ \cos x < 0 $. Уравнение принимает вид:

$ 1 - \sin 2x = -1 $

$ \sin 2x = 2 $

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1; 1] $.

Объединяя результаты, получаем единственную серию решений.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in Z. $