Номер 2, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x}$

Для построения графика функции сначала упростим ее выражение. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.Подставим это в исходное уравнение:$y = \frac{\sin^2 x}{\sin x}$

Теперь найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:$\sin x \neq 0$$x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).

На области определения мы можем сократить дробь:$y = \sin x$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$ за исключением точек, в которых $x = \pi k$. Эти точки необходимо "выколоть" из графика.Найдем координаты выколотых точек:При $x = \pi k$, значение $y$ было бы равно $\sin(\pi k) = 0$.Следовательно, выколотые точки имеют координаты $(\pi k, 0)$ для всех целых $k$. Это точки $(..., (-\pi, 0), (0, 0), (\pi, 0), (2\pi, 0), ...)$.График представляет собой синусоиду с выколотыми точками в местах ее пересечения с осью Ox.

Ответ: Графиком функции является синусоида $y=\sin x$ с выколотыми точками в точках пересечения с осью Ox, то есть в точках с координатами $(\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\sin x}$

Упростим выражение. Из основного тригонометрического тождества $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.Тогда $\sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$.Функция принимает вид:$y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:$\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:1. Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Тогда $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$. Это происходит на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$ для целых $n$.2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда $y = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$. Это происходит на интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для целых $n$.

График функции состоит из горизонтальных отрезков. На интервалах, где синус положителен, график — это прямая $y=1$. На интервалах, где синус отрицателен, график — это прямая $y=-1$. В точках $x = \pi k$ функция не определена, поэтому на концах отрезков будут выколотые точки.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов: $y=1$ для $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$ и $y=-1$ для $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = 2\tg x \cdot \ctg x$

Для построения графика найдем область определения функции.Функция $\tg x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.Функция $\ctg x$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$.Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ: $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

На области определения функции известно, что $\tg x \cdot \ctg x = 1$.Поэтому, для всех $x$ из ОДЗ, функция упрощается до:$y = 2 \cdot 1 = 2$

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=2$ с выколотыми точками в тех местах, где исходная функция не определена.Координаты выколотых точек: $(\frac{\pi m}{2}, 2)$, где $m \in \mathbb{Z}$.Это точки $(..., (-\pi, 2), (-\frac{\pi}{2}, 2), (0, 2), (\frac{\pi}{2}, 2), (\pi, 2), ...)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотыми точками $(\frac{\pi m}{2}, 2)$, где $m \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{\sin 2x}{\sin x} + 2$

Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.$y = \frac{2\sin x \cos x}{\sin x} + 2$

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения можно сократить $\sin x$:$y = 2\cos x + 2$

График этой функции — это график $y = \cos x$, преобразованный следующим образом:1. Растяжение вдоль оси Y в 2 раза (амплитуда становится равной 2).2. Сдвиг вверх на 2 единицы.График колеблется между $y=0$ и $y=4$ с периодом $2\pi$.

Необходимо выколоть точки, где $x = \pi k$:- Если $k$ — четное число ($k=2n$), то $x = 2\pi n$. Тогда $\cos(2\pi n) = 1$, и $y = 2(1) + 2 = 4$. Выколотые точки: $(2\pi n, 4)$.- Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $x = (2n+1)\pi$. Тогда $\cos((2n+1)\pi) = -1$, и $y = 2(-1) + 2 = 0$. Выколотые точки: $((2n+1)\pi, 0)$.Выколотые точки совпадают с точками максимума и минимума функции.

Ответ: График функции — это косинусоида $y=2\cos x + 2$, смещенная вверх на 2, с амплитудой 2. Точки максимума $(2\pi n, 4)$ и минимума $((2n+1)\pi, 0)$ выколоты.