Номер 14, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения экстремумов функции $y = x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$, сперва упростим ее выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$y = x(x^2 - (\sqrt{3})^2) = x(x^2 - 3) = x^3 - 3x$.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- При $x < -1$, $y' > 0$ (например, $y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$), функция возрастает.
- При $-1 < x < 1$, $y' < 0$ (например, $y'(0) = -3 < 0$), функция убывает.
- При $x > 1$, $y' > 0$ (например, $y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$), функция возрастает.
В точке $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
Вычислим значения экстремумов:
$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
Ответ: $y_{max} = 2$ при $x=-1$, $y_{min} = -2$ при $x=1$.

2) Для нахождения экстремумов функции $y = 2x^3 - 6x + 3$, найдем ее производную.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Производная функции:
$y' = (2x^3 - 6x + 3)' = 6x^2 - 6$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^2 - 6 = 0$
$6(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах.
- При $x < -1$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $-1 < x < 1$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x > 1$, $y' > 0$, функция возрастает.
Следовательно, $x = -1$ — точка максимума, а $x = 1$ — точка минимума.
Вычислим значения экстремумов:
$y_{max} = y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 3 = -2 + 6 + 3 = 7$.
$y_{min} = y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 3 = 2 - 6 + 3 = -1$.
Ответ: $y_{max} = 7$ при $x=-1$, $y_{min} = -1$ при $x=1$.

3) Для нахождения экстремумов функции $y = \frac{1}{x^2 + 4}$, найдем ее производную.
Знаменатель $x^2 + 4$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$), поэтому область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования дроби или степенной функции $y=(x^2+4)^{-1}$:
$y' = -1 \cdot (x^2 + 4)^{-2} \cdot (x^2 + 4)' = \frac{-2x}{(x^2 + 4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{-2x}{(x^2 + 4)^2} = 0$
$-2x = 0$
$x = 0$.
Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной.
Знаменатель $(x^2 + 4)^2$ всегда положителен, поэтому знак $y'$ определяется знаком числителя $-2x$.
- При $x < 0$, $-2x > 0$, следовательно $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x > 0$, $-2x < 0$, следовательно $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
Вычислим значение максимума:
$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2 + 4} = \frac{1}{4}$.
Функция не имеет точек минимума.
Ответ: $y_{max} = \frac{1}{4}$ при $x=0$.

4) Для нахождения экстремумов функции $y = \frac{2}{x^2 + x - 1}$, найдем ее область определения и производную.
Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 + x - 1 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 1 = 0$ равны $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Таким образом, $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\}$.
Найдем производную функции:
$y' = \left( \frac{2}{x^2 + x - 1} \right)' = 2 \cdot (-1) \cdot (x^2 + x - 1)^{-2} \cdot (2x+1) = -\frac{2(2x+1)}{(x^2 + x - 1)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-\frac{2(2x+1)}{(x^2 + x - 1)^2} = 0$
$-2(2x+1) = 0$
$2x+1 = 0$
$x = -\frac{1}{2}$.
Эта точка принадлежит области определения. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2 + x - 1)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака числителя $-2(2x+1)$.
- При $x < -\frac{1}{2}$, $2x+1 < 0$, значит $-2(2x+1) > 0$. $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x > -\frac{1}{2}$, $2x+1 > 0$, значит $-2(2x+1) < 0$. $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = -\frac{1}{2}$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
Вычислим значение максимума:
$y_{max} = y(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{(-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1} = \frac{2}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1} = \frac{2}{\frac{1-2-4}{4}} = \frac{2}{-\frac{5}{4}} = -\frac{8}{5}$.
Функция не имеет точек минимума.
Ответ: $y_{max} = -\frac{8}{5}$ при $x=-\frac{1}{2}$.