Номер 18, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми, используется определенный интеграл. Если фигура ограничена сверху графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, снизу — осью Ox ($y=0$), а слева и справа — прямыми $x=a$ и $x=b$, то ее площадь вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

1) $y = x^2$, $x=1$, $x=2$, $y=0$

Фигура ограничена параболой $y=x^2$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=1$ и $x=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $y = x^2$ в пределах от 1 до 2:

$S = \int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$ кв. ед.

2) $y = x^2$, $y=0$, $x=-1$, $x=2$

Фигура ограничена параболой $y=x^2$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=-1$ и $x=2$. На отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $y = x^2$ в пределах от -1 до 2:

$S = \int_{-1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: $3$ кв. ед.

3) $y = 2x^2 - 1$, $y=0$, $x=1$, $x=3$

Фигура ограничена параболой $y=2x^2-1$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=1$ и $x=3$. Проверим знак функции на отрезке $[1, 3]$. Корни уравнения $2x^2 - 1 = 0$ равны $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm0.707$. Так как отрезок $[1, 3]$ лежит правее положительного корня, функция $y=2x^2-1$ на этом отрезке положительна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{1}^{3} (2x^2 - 1) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - x \right]_{1}^{3} = \left(\frac{2 \cdot 3^3}{3} - 3\right) - \left(\frac{2 \cdot 1^3}{3} - 1\right) = (18 - 3) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = 15 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 15 + \frac{1}{3} = \frac{46}{3}$

Ответ: $\frac{46}{3}$ кв. ед.

4) $y = 2x^2 + 1$, $y=0$, $x=2$, $x=3$

Фигура ограничена параболой $y=2x^2+1$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=2$ и $x=3$. Так как $2x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $y = 2x^2+1 \ge 1$, то есть функция всегда положительна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{2}^{3} (2x^2 + 1) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_{2}^{3} = \left(\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 3\right) - \left(\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) = (18 + 3) - \left(\frac{16}{3} + 2\right) = 21 - \left(\frac{16}{3} + \frac{6}{3}\right) = 21 - \frac{22}{3} = \frac{63 - 22}{3} = \frac{41}{3}$

Ответ: $\frac{41}{3}$ кв. ед.