Номер 21, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$ (ось Ox), необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала найдем пределы интегрирования, для чего приравняем уравнения функций, чтобы найти их точки пересечения:
$1 - x^2 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$
Парабола $y = 1 - x^2$ является симметричной относительно оси Oy, ветви направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 1)$. На интервале $(-1, 1)$ значения функции $y = 1 - x^2$ неотрицательны.
Площадь $S$ фигуры равна интегралу от функции $y = 1 - x^2$ в пределах от $-1$ до $1$:
$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{2}{3} - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = 0$, найдем точки их пересечения:
$-x^2 + 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$
Эти значения являются пределами интегрирования. Парабола $y = -x^2 + 4$ имеет ветви, направленные вниз, и вершину в точке $(0, 4)$. На интервале $(-2, 2)$ функция положительна.
Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx$
Вычислим его:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + 4(2)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2)\right) = \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$

3) Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = 3x - x^2$ и $y = 0$, находится через интеграл. Найдем пределы интегрирования, найдя точки пересечения:
$3x - x^2 = 0$
$x(3 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 3$
На отрезке $[0, 3]$ парабола $y = 3x - x^2$ (ветви вниз) находится над осью Ox.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{3(3^2)}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - (0) = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$.
Ответ: $\frac{9}{2}$

4) Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6x - x^2$ и $y = 0$. Найдем точки пересечения этих линий:
$6x - x^2 = 0$
$x(6 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 6$
Это пределы интегрирования. На интервале $(0, 6)$ парабола $y = 6x - x^2$ находится выше оси Ox.
Площадь $S$ вычисляется с помощью интеграла:
$S = \int_{0}^{6} (6x - x^2) dx$
Найдем значение интеграла:
$S = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \left(3(6^2) - \frac{6^3}{3}\right) - (0) = 3(36) - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36$.
Ответ: $36$