Страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Қисықсызықты трапецияның геометрия курсынан белгілі трапециядан қандай айырмашылығы бар?

Трапеция, известная из школьного курса геометрии, и криволинейная трапеция — это разные геометрические фигуры, имеющие ключевые различия.

Обычная (или прямолинейная) трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (они называются основаниями), а две другие стороны не параллельны (боковые стороны). Важно отметить, что все четыре стороны такой трапеции являются отрезками прямых линий.

Криволинейная трапеция — это плоская фигура в декартовой системе координат, ограниченная:

1. Осью абсцисс ($Ox$).

2. Двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

3. Графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$.

Таким образом, основное отличие заключается в характере границ фигуры. У обычной трапеции все границы — это отрезки прямых. У криволинейной трапеции три границы являются отрезками прямых (два на вертикальных линиях и один на оси $Ox$), а четвертая, верхняя граница, является кривой линией, заданной функцией $y=f(x)$.

Ответ: Основное отличие в том, что у обычной трапеции все стороны являются отрезками прямых, в то время как у криволинейной трапеции одна из границ — это кривая линия (график функции).

2. Қисықсызықты трапецияның ауданын есептеу формуласын қорытып шығару кезінде қандай белгілі ұғымдар қолданылды?

Вывод формулы для вычисления площади криволинейной трапеции является одним из фундаментальных приложений интегрального исчисления. При её выводе используются следующие основные понятия и методы:

1.Разбиение отрезка и аппроксимация. Отрезок $[a, b]$ на оси $Ox$ разбивается на $n$ малых частей (подотрезков). На каждом таком подотрезке криволинейная трапеция аппроксимируется (приближенно заменяется) прямоугольником. Высота каждого прямоугольника обычно выбирается равной значению функции $f(x)$ в одной из точек (левой, правой или произвольной) соответствующего подотрезка.

2.Интегральная сумма (сумма Римана). Площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей всех построенных прямоугольников. Эта сумма называется интегральной суммой: $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i$, где $\Delta x_i$ — длина $i$-го подотрезка, а $f(x_i^*)$ — высота прямоугольника.

3.Предел. Чтобы получить точное значение площади, необходимо сделать разбиение бесконечно мелким. Для этого вычисляется предел интегральной суммы при условии, что число прямоугольников $n$ стремится к бесконечности ($n \to \infty$), а длина наибольшего подотрезка стремится к нулю.

4.Определённый интеграл. Этот предел по определению является определённым интегралом функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$. Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна: $S = \lim_{n \to \infty} S_n = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

5.Первообразная и формула Ньютона-Лейбница. Для практического вычисления определённого интеграла используется основная теорема анализа — формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ (то есть $F'(x) = f(x)$).

Ответ: При выводе формулы используются понятия разбиения отрезка, интегральной суммы, предела, определённого интеграла, первообразной и формулы Ньютона-Лейбница.

3. Трапеция ауданын қисықсызықты трапецияның ауданын есептеу формуласы арқылы табуға бола ма?

Да, площадь обычной (прямолинейной) трапеции можно найти с помощью формулы для вычисления площади криволинейной трапеции. Это возможно потому, что обычная трапеция является частным случаем криволинейной трапеции, у которой верхняя "кривая" граница на самом деле является отрезком прямой, то есть графиком линейной функции $y = kx+c$.

Продемонстрируем это. Пусть дана обычная трапеция с основаниями $b_1$ и $b_2$ и высотой $h$. Разместим её в системе координат так, чтобы её высота лежала на оси $Ox$ от $x=0$ до $x=h$. Тогда нижнее основание будет лежать на оси $Ox$, но для общности рассмотрим трапецию, у которой нижнее основание параллельно оси $Ox$. Верхняя сторона будет отрезком прямой, соединяющим точки $(0, b_1)$ и $(h, b_2)$.

Уравнение этой прямой (линейной функции) можно найти как $f(x) = kx + c$. Угловой коэффициент $k = \frac{b_2 - b_1}{h}$, а начальное значение $c = f(0) = b_1$. Таким образом, функция, задающая верхнюю сторону трапеции: $f(x) = \frac{b_2 - b_1}{h}x + b_1$.

Теперь найдем площадь этой фигуры как площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x=0$, $x=h$, осью $Ox$ и графиком $y=f(x)$, с помощью интеграла: $S = \int_{0}^{h} \left(\frac{b_2 - b_1}{h}x + b_1\right) dx$.

Для вычисления интеграла найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции: $F(x) = \int \left(\frac{b_2 - b_1}{h}x + b_1\right) dx = \frac{b_2 - b_1}{h} \cdot \frac{x^2}{2} + b_1 x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(h) - F(0)$: $S = \left(\frac{b_2 - b_1}{h} \cdot \frac{h^2}{2} + b_1 h\right) - \left(\frac{b_2 - b_1}{h} \cdot \frac{0^2}{2} + b_1 \cdot 0\right)$ $S = \frac{(b_2 - b_1)h}{2} + b_1 h = \frac{b_2h - b_1h + 2b_1h}{2} = \frac{b_2h + b_1h}{2}$.

В итоге мы получаем: $S = \frac{b_1 + b_2}{2} h$.

Это в точности совпадает с классической формулой площади трапеции.

Ответ: Да, можно. Обычная трапеция является частным случаем криволинейной, где верхняя граница задается линейной функцией. Применение формулы площади криволинейной трапеции (интеграла) к этой линейной функции приводит к стандартной геометрической формуле площади трапеции.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми, используется определенный интеграл. Если фигура ограничена сверху графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, снизу — осью Ox ($y=0$), а слева и справа — прямыми $x=a$ и $x=b$, то ее площадь вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

1) $y = x^2$, $x=1$, $x=2$, $y=0$

Фигура ограничена параболой $y=x^2$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=1$ и $x=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $y = x^2$ в пределах от 1 до 2:

$S = \int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$ кв. ед.

2) $y = x^2$, $y=0$, $x=-1$, $x=2$

Фигура ограничена параболой $y=x^2$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=-1$ и $x=2$. На отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $y = x^2$ в пределах от -1 до 2:

$S = \int_{-1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: $3$ кв. ед.

3) $y = 2x^2 - 1$, $y=0$, $x=1$, $x=3$

Фигура ограничена параболой $y=2x^2-1$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=1$ и $x=3$. Проверим знак функции на отрезке $[1, 3]$. Корни уравнения $2x^2 - 1 = 0$ равны $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm0.707$. Так как отрезок $[1, 3]$ лежит правее положительного корня, функция $y=2x^2-1$ на этом отрезке положительна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{1}^{3} (2x^2 - 1) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - x \right]_{1}^{3} = \left(\frac{2 \cdot 3^3}{3} - 3\right) - \left(\frac{2 \cdot 1^3}{3} - 1\right) = (18 - 3) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = 15 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 15 + \frac{1}{3} = \frac{46}{3}$

Ответ: $\frac{46}{3}$ кв. ед.

4) $y = 2x^2 + 1$, $y=0$, $x=2$, $x=3$

Фигура ограничена параболой $y=2x^2+1$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=2$ и $x=3$. Так как $2x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $y = 2x^2+1 \ge 1$, то есть функция всегда положительна.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{2}^{3} (2x^2 + 1) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_{2}^{3} = \left(\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 3\right) - \left(\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) = (18 + 3) - \left(\frac{16}{3} + 2\right) = 21 - \left(\frac{16}{3} + \frac{6}{3}\right) = 21 - \frac{22}{3} = \frac{63 - 22}{3} = \frac{41}{3}$

Ответ: $\frac{41}{3}$ кв. ед.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 3$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 2$, необходимо вычислить определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = x^2 - 2x + 3$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), слева и справа — прямыми $x=1$ и $x=2$.
Исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Так как старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола направлена ветвями вверх и не пересекает ось Ox, следовательно, $f(x) > 0$ при всех $x$.
Площадь $S$ вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 3) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x \right) \Big|_{1}^{2} = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right) \Big|_{1}^{2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 3 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 3 \right) = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{3} - 2 = \frac{7}{3}$.
Ответ: $S = \frac{7}{3}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 3$, вычислим определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = x^2 - 2x + 8$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), слева и справа — прямыми $x=-1$ и $x=3$.
Исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[-1, 3]$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 < 0$. Старший коэффициент положителен ($a=1$), значит, парабола направлена ветвями вверх и целиком лежит выше оси Ox. Следовательно, $f(x) > 0$ на всем отрезке интегрирования.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 2x + 8) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right) \Big|_{-1}^{3}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 + 8 \cdot 3 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 8 \cdot (-1) \right) = (9 - 9 + 24) - \left( -\frac{1}{3} - 1 - 8 \right) = 24 - \left( -\frac{1}{3} - 9 \right) = 24 - \left( -\frac{28}{3} \right) = 24 + \frac{28}{3} = \frac{72+28}{3} = \frac{100}{3}$.
Ответ: $S = \frac{100}{3}$.

3) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$, вычислим определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = \cos x$, снизу — осью Ox ($y=0$), слева и справа — прямыми $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.
На отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ функция $\cos x$ положительна, так как этот отрезок находится внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где косинус положителен.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \cos x \,dx$.
Так как функция $y = \cos x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:
$S = 2 \int_{0}^{\pi/3} \cos x \,dx = 2 [\sin x] \Big|_{0}^{\pi/3} = 2(\sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0)) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \sqrt{3}$.
Либо, вычисляя напрямую:
$S = [\sin x] \Big|_{-\pi/3}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $S = \sqrt{3}$.

4) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, вычислим определенный интеграл.
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x) = \sin x$, снизу — осью Ox ($y=0$), слева и справа — прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$.
На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ (первая четверть) функция $\sin x$ неотрицательна ($ \sin x \ge 0 $).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx = [-\cos x] \Big|_{0}^{\pi/2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1$.
Ответ: $S = 1$.

1) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 2$.

Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху параболой $y = x^2$, снизу осью абсцисс $y = 0$, слева осью ординат ($x=0$, так как $y=x^2$ пересекает $y=0$ при $x=0$) и справа прямой $x = 2$.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле $A = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$. В данном случае $f(x) = x^2$, а пределы интегрирования $a=0$ и $b=2$.

Вычисляем интеграл:

$A = \int_{0}^{2} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Ответ: $A = \frac{8}{3}$

2) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 2$.

Эта фигура также является криволинейной трапецией. Она ограничена сверху кубической параболой $y = x^3$, снизу осью $y=0$, а по бокам прямыми $x=0$ (точка пересечения $y=x^3$ и $y=0$) и $x=2$.

Площадь вычисляется с помощью определённого интеграла от функции $f(x) = x^3$ в пределах от $a=0$ до $b=2$.

Вычисляем интеграл:

$A = \int_{0}^{2} x^3 \,dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4$

Ответ: $A = 4$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$ (ось Ox), необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала найдем пределы интегрирования, для чего приравняем уравнения функций, чтобы найти их точки пересечения:
$1 - x^2 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$
Парабола $y = 1 - x^2$ является симметричной относительно оси Oy, ветви направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 1)$. На интервале $(-1, 1)$ значения функции $y = 1 - x^2$ неотрицательны.
Площадь $S$ фигуры равна интегралу от функции $y = 1 - x^2$ в пределах от $-1$ до $1$:
$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{2}{3} - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = 0$, найдем точки их пересечения:
$-x^2 + 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$
Эти значения являются пределами интегрирования. Парабола $y = -x^2 + 4$ имеет ветви, направленные вниз, и вершину в точке $(0, 4)$. На интервале $(-2, 2)$ функция положительна.
Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx$
Вычислим его:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + 4(2)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2)\right) = \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$

3) Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = 3x - x^2$ и $y = 0$, находится через интеграл. Найдем пределы интегрирования, найдя точки пересечения:
$3x - x^2 = 0$
$x(3 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 3$
На отрезке $[0, 3]$ парабола $y = 3x - x^2$ (ветви вниз) находится над осью Ox.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{3(3^2)}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - (0) = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$.
Ответ: $\frac{9}{2}$

4) Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6x - x^2$ и $y = 0$. Найдем точки пересечения этих линий:
$6x - x^2 = 0$
$x(6 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 6$
Это пределы интегрирования. На интервале $(0, 6)$ парабола $y = 6x - x^2$ находится выше оси Ox.
Площадь $S$ вычисляется с помощью интеграла:
$S = \int_{0}^{6} (6x - x^2) dx$
Найдем значение интеграла:
$S = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \left(3(6^2) - \frac{6^3}{3}\right) - (0) = 3(36) - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36$.
Ответ: $36$

1)

Фигураның ауданын табу үшін $y=\cos x$ функциясынан $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ аралығында анықталған интегралды есептеу керек. Берілген аралықта $\cos x \ge 0$ болғандықтан, қисықсызықты трапецияның ауданы Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша есептеледі:

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x \,dx$

$\cos x$ функциясының алғашқы функциясы $\sin x$ болып табылады.

$S = [\sin x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4})$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ және $\sin(-x) = -\sin(x)$ қасиеті бойынша $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ екенін ескереміз.

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Графикте боялған аймақ ізделінді ауданды көрсетеді:

Ответ: $\sqrt{2}$

2)

Бұл жағдайда фигураның ауданын табу үшін $y=\sin x$ функциясынан $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ аралығында анықталған интегралды есептеу керек. Берілген аралықта $\sin x \ge 0$ болғандықтан, аудан келесі формуламен анықталады:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \sin x \,dx$

$\sin x$ функциясының алғашқы функциясы $-\cos x$ болады.

$S = [-\cos x]_{\pi/4}^{\pi/3} = (-\cos(\frac{\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{4})) = \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{3})$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ және $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ мәндерін орнына қоямыз.

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

Графикте боялған аймақ ізделінді ауданды көрсетеді:

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$