Страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения неравенства $\int_{0}^{x} 5dt > 1$ сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Первообразная для функции $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $\int_{0}^{x} 5dt = [5t]_{0}^{x} = 5x - 5 \cdot 0 = 5x$. Теперь неравенство принимает вид: $5x > 1$. Разделим обе части на 5: $x > \frac{1}{5}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\int_{x}^{x^2} 5dt < 0$. Вычислим интеграл: $\int_{x}^{x^2} 5dt = [5t]_{x}^{x^2} = 5(x^2) - 5x = 5x^2 - 5x$. Подставим результат в неравенство: $5x^2 - 5x < 0$. Разделим обе части на 5: $x^2 - x < 0$. Разложим левую часть на множители: $x(x - 1) < 0$. Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x-1)=0$, это $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Так как ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями. Следовательно, $0 < x < 1$.
Ответ: $x \in (0; 1)$.

3) Решим неравенство $\int_{x}^{1} 3dt > 9$. Сначала вычислим интеграл: $\int_{x}^{1} 3dt = [3t]_{x}^{1} = 3 \cdot 1 - 3x = 3 - 3x$. Неравенство принимает вид: $3 - 3x > 9$. Вычтем 3 из обеих частей: $-3x > 6$. Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный: $x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

4) Рассмотрим неравенство $\int_{x}^{2} (2t - 3)dt > 0$. Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 3$. Первообразная есть $F(t) = t^2 - 3t$. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{x}^{2} (2t - 3)dt = [t^2 - 3t]_{x}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - (x^2 - 3x) = (4 - 6) - (x^2 - 3x) = -2 - x^2 + 3x$. Теперь решим неравенство: $-x^2 + 3x - 2 > 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 3x + 2 < 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Разложим на множители: $(x - 1)(x - 2) < 0$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями. Таким образом, $1 < x < 2$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin(2x) \cos(3x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
В нашем случае $\alpha=2x$ и $\beta=3x$. Тогда подынтегральная функция преобразуется к виду:
$\sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin(x))$.
Теперь интегрируем полученное выражение:
$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin(x)) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (\sin(5x) - \sin(x)) dx$
$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5}\cos(5x) - (-\cos(x)) \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \cos(x) - \frac{1}{5}\cos(5x) \right]_{0}^{\pi}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left(\cos(\pi) - \frac{1}{5}\cos(5\pi)\right) - \left(\cos(0) - \frac{1}{5}\cos(0)\right) \right)$
Зная, что $\cos(\pi)=-1$, $\cos(5\pi)=-1$ и $\cos(0)=1$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left(-1 - \frac{1}{5}(-1)\right) - \left(1 - \frac{1}{5}(1)\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(-1 + \frac{1}{5}\right) - \left(1 - \frac{1}{5}\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{8}{5} \right) = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi/2} \sin(4x) \sin(5x) dx$ воспользуемся формулой произведения синусов: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
Здесь $\alpha=4x$ и $\beta=5x$. Подынтегральная функция примет вид:
$\sin(4x)\sin(5x) = \frac{1}{2}(\cos(4x-5x) - \cos(4x+5x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) - \cos(9x)) = \frac{1}{2}(\cos(x) - \cos(9x))$.
Интегрируем это выражение:
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}(\cos(x) - \cos(9x)) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (\cos(x) - \cos(9x)) dx$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin(x) - \frac{1}{9}\sin(9x) \right]_{0}^{\pi/2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left(\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{9}\sin(\frac{9\pi}{2})\right) - \left(\sin(0) - \frac{1}{9}\sin(0)\right) \right)$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, $\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(4\pi+\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$ и $\sin(0)=0$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{1}{9}(1)\right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 - \sqrt{2} \cos\frac{x}{2}} dx$ преобразуем числитель с помощью формулы косинуса двойного угла: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.
Тогда подынтегральное выражение станет: $\frac{2\cos^2\frac{x}{2} - 1}{1 - \sqrt{2} \cos\frac{x}{2}}$.
Разложим числитель на множители как разность квадратов: $2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = (\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)$.
Теперь дробь можно сократить:
$\frac{(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)}{1 - \sqrt{2} \cos\frac{x}{2}} = \frac{(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)}{-(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)} = -(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)$.
Заметим, что знаменатель обращается в ноль при $x=\pi/2$, что делает исходный интеграл несобственным. Однако, поскольку мы смогли сократить дробь, это означает, что в точке $x=\pi/2$ была устранимая особенность. Мы можем вычислить интеграл от упрощенного выражения.
$\int_{0}^{\pi/2} -(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1) dx = -\left[ \sqrt{2} \frac{\sin\frac{x}{2}}{1/2} + x \right]_{0}^{\pi/2} = -\left[ 2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2} + x \right]_{0}^{\pi/2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= -\left( \left(2\sqrt{2}\sin\frac{\pi/2}{2} + \frac{\pi}{2}\right) - (2\sqrt{2}\sin 0 + 0) \right) = -\left( 2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - 0 \right)$
Так как $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$= -\left( 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\pi}{2} \right) = -\left( 2 + \frac{\pi}{2} \right)$.
Ответ: $-2 - \frac{\pi}{2}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2 \sin x + 1} dx$ применим метод замены переменной.
Пусть $u = 2\sin x + 1$. Тогда дифференциал $du = (2\sin x + 1)' dx = 2\cos x dx$. Отсюда $\cos x dx = \frac{1}{2} du$.
Теперь найдем новые пределы интегрирования:
При $x=0$, $u = 2\sin 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.
При $x=\pi/2$, $u = 2\sin\frac{\pi}{2} + 1 = 2(1) + 1 = 3$.
Подставляем замену в интеграл:
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2 \sin x + 1} dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{du}{u}$
Вычисляем полученный интеграл:
$= \frac{1}{2} \left[ \ln|u| \right]_{1}^{3} = \frac{1}{2}(\ln 3 - \ln 1)$.
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$= \frac{1}{2}\ln 3$.
Ответ: $\frac{1}{2}\ln 3$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} (2 + 5x)^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = (2 + 5x)^3$. Применяя формулу для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:
$F(x) = \int (2 + 5x)^3 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2 + 5x)^{3+1}}{3+1} = \frac{(2 + 5x)^4}{20}$.
Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:
$\int_{0}^{1} (2 + 5x)^3 dx = \left. \frac{(2 + 5x)^4}{20} \right|_{0}^{1} = \frac{(2 + 5 \cdot 1)^4}{20} - \frac{(2 + 5 \cdot 0)^4}{20} = \frac{7^4}{20} - \frac{2^4}{20} = \frac{2401 - 16}{20} = \frac{2385}{20} = \frac{477}{4}$.
Ответ: $\frac{477}{4}$

2) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (2x + 3)^3 dx$. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = (2x + 3)^3$.
Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (2x + 3)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 3)^{3+1}}{3+1} = \frac{(2x + 3)^4}{8}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{1} (2x + 3)^3 dx = \left. \frac{(2x + 3)^4}{8} \right|_{0}^{1} = \frac{(2 \cdot 1 + 3)^4}{8} - \frac{(2 \cdot 0 + 3)^4}{8} = \frac{5^4}{8} - \frac{3^4}{8} = \frac{625 - 81}{8} = \frac{544}{8} = 68$.
Ответ: $68$

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(6x - 1)^4}$. Перепишем подынтегральную функцию в виде степени: $f(x) = (6x - 1)^{-4}$.
Найдем первообразную:$F(x) = \int (6x - 1)^{-4} dx = \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x - 1)^{-4+1}}{-4+1} = \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x - 1)^{-3}}{-3} = -\frac{1}{18(6x - 1)^3}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(6x - 1)^4} = \left. -\frac{1}{18(6x - 1)^3} \right|_{-1}^{0} = \left(-\frac{1}{18(6 \cdot 0 - 1)^3}\right) - \left(-\frac{1}{18(6 \cdot (-1) - 1)^3}\right)$
$= -\frac{1}{18(-1)^3} + \frac{1}{18(-7)^3} = -\frac{1}{-18} + \frac{1}{18(-343)} = \frac{1}{18} - \frac{1}{6174}$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $6174 = 18 \cdot 343$.
$\frac{343}{6174} - \frac{1}{6174} = \frac{342}{6174} = \frac{19 \cdot 18}{343 \cdot 18} = \frac{19}{343}$.
Ответ: $\frac{19}{343}$

4) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(1 - 2x)^5}$. Перепишем подынтегральную функцию в виде $f(x) = (1 - 2x)^{-5}$.
Найдем первообразную, обращая внимание, что коэффициент при $x$ равен $-2$:
$F(x) = \int (1 - 2x)^{-5} dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1 - 2x)^{-5+1}}{-5+1} = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1 - 2x)^{-4}}{-4} = \frac{1}{8(1 - 2x)^4}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(1 - 2x)^5} = \left. \frac{1}{8(1 - 2x)^4} \right|_{-1}^{0} = \frac{1}{8(1 - 2 \cdot 0)^4} - \frac{1}{8(1 - 2 \cdot (-1))^4}$
$= \frac{1}{8(1)^4} - \frac{1}{8(1 + 2)^4} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \cdot 3^4} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \cdot 81} = \frac{1}{8} - \frac{1}{648}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $648 = 8 \cdot 81$:
$\frac{81}{648} - \frac{1}{648} = \frac{80}{648} = \frac{10 \cdot 8}{81 \cdot 8} = \frac{10}{81}$.
Ответ: $\frac{10}{81}$

1)

Для вычисления интеграла $\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x-1}}$ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 3x-1$. Тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=2$, то $t = 3 \cdot 2 - 1 = 5$. Если $x=12$, то $t = 3 \cdot 12 - 1 = 35$.

Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:

$\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x-1}} = \int_{5}^{35} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{5}^{35} t^{-1/2} dt$.

Теперь найдем первообразную для $t^{-1/2}$: $\int t^{-1/2} dt = \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{t^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{t}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{3} [2\sqrt{t}]_{5}^{35} = \frac{2}{3} (\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

Ответ: $\frac{2}{3}(\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

2)

Для вычисления интеграла $\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}$ также используем метод замены переменной.

Пусть $t = 2x+1$. Тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=4$, то $t = 2 \cdot 4 + 1 = 9$. Если $x=12$, то $t = 2 \cdot 12 + 1 = 25$.

Подставим в интеграл:

$\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}} = \int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{9}^{25} t^{-1/2} dt$.

Первообразная для $t^{-1/2}$ равна $2\sqrt{t}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_{9}^{25} = [\sqrt{t}]_{9}^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $2$.

3)

Рассмотрим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{1+x^2} dx$.

Упростим подынтегральное выражение, выполнив деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе. Для этого сгруппируем слагаемые в числителе:

$2x^3 + x^2 + 2x + 1 = (2x^3 + 2x) + (x^2 + 1) = 2x(x^2+1) + 1(x^2+1) = (2x+1)(x^2+1)$.

Теперь подынтегральная функция принимает вид:

$\frac{(2x+1)(x^2+1)}{1+x^2} = 2x+1$.

Интеграл упрощается до:

$\int_{2}^{3} (2x+1) dx$.

Найдем первообразную: $\int (2x+1) dx = 2\frac{x^2}{2} + x = x^2+x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[x^2+x]_{2}^{3} = (3^2+3) - (2^2+2) = (9+3) - (4+2) = 12 - 6 = 6$.

Ответ: $6$.

4)

Рассмотрим интеграл $\int_{-3}^{-2} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 1} dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1)$.

Теперь подынтегральная функция принимает вид:

$\frac{(x^2-1)(x-1)}{x^2-1} = x-1$.

Заметим, что знаменатель $x^2-1$ обращается в ноль при $x=\pm1$, но эти точки не входят в отрезок интегрирования $[-3, -2]$, поэтому сокращение корректно.

Интеграл упрощается до:

$\int_{-3}^{-2} (x-1) dx$.

Найдем первообразную: $\int (x-1) dx = \frac{x^2}{2} - x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[\frac{x^2}{2} - x]_{-3}^{-2} = (\frac{(-2)^2}{2} - (-2)) - (\frac{(-3)^2}{2} - (-3)) = (\frac{4}{2} + 2) - (\frac{9}{2} + 3) = (2+2) - (\frac{9}{2}+\frac{6}{2}) = 4 - \frac{15}{2} = \frac{8}{2} - \frac{15}{2} = -\frac{7}{2}$.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.

1) Для решения неравенства $\int_{x}^{3} (t + 1) dt < 0$ сначала вычислим определенный интеграл.
Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = t + 1$ есть $F(t) = \frac{t^2}{2} + t$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{x}^{3} (t + 1) dt = \left( \frac{t^2}{2} + t \right) \Big|_{x}^{3} = \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right) - \left( \frac{x^2}{2} + x \right) = \left( \frac{9}{2} + 3 \right) - \frac{x^2}{2} - x = \frac{15}{2} - \frac{x^2}{2} - x$.
Теперь решим неравенство:
$\frac{15}{2} - \frac{x^2}{2} - x < 0$.
Умножим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$-15 + x^2 + 2x > 0$
$x^2 + 2x - 15 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх. Следовательно, выражение больше нуля при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < -5$ или $x > 3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$.

2) Для решения неравенства $\int_{x}^{2} (1 - t) dt > 0$ вычислим интеграл.
Первообразная для $f(t) = 1 - t$ есть $F(t) = t - \frac{t^2}{2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{x}^{2} (1 - t) dt = \left( t - \frac{t^2}{2} \right) \Big|_{x}^{2} = \left( 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = (2 - 2) - x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x$.
Решим неравенство:
$\frac{x^2}{2} - x > 0$.
Умножим обе части на 2:
$x^2 - 2x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 2) > 0$.
Корни уравнения $x(x-2)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх, поэтому выражение больше нуля при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

3) Для решения неравенства $\int_{-2}^{x} (2 - 3t) dt > 0$ вычислим интеграл.
Первообразная для $f(t) = 2 - 3t$ есть $F(t) = 2t - \frac{3t^2}{2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^{x} (2 - 3t) dt = \left( 2t - \frac{3t^2}{2} \right) \Big|_{-2}^{x} = \left( 2x - \frac{3x^2}{2} \right) - \left( 2(-2) - \frac{3(-2)^2}{2} \right) = 2x - \frac{3x^2}{2} - (-4 - 6) = 2x - \frac{3x^2}{2} + 10$.
Решим неравенство:
$-\frac{3}{2}x^2 + 2x + 10 > 0$.
Умножим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства:
$3x^2 - 4x - 20 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x - 20 = 0$:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-20)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{4 \pm 16}{6}$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 16}{6} = -2$, $x_2 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 20$ направлены вверх, поэтому выражение меньше нуля при значениях $x$ в интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-2 < x < \frac{10}{3}$.
Ответ: $x \in (-2, \frac{10}{3})$.

4) Для решения неравенства $\int_{-3}^{x} (4t - 1) dt < 0$ вычислим интеграл.
Первообразная для $f(t) = 4t - 1$ есть $F(t) = 2t^2 - t$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-3}^{x} (4t - 1) dt = \left( 2t^2 - t \right) \Big|_{-3}^{x} = (2x^2 - x) - (2(-3)^2 - (-3)) = 2x^2 - x - (18 + 3) = 2x^2 - x - 21$.
Решим неравенство:
$2x^2 - x - 21 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 21 = 0$:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-21)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 168}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{1 \pm 13}{4}$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 13}{4} = -3$, $x_2 = \frac{1 + 13}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 21$ направлены вверх, поэтому выражение меньше нуля при значениях $x$ в интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-3 < x < \frac{7}{2}$.
Ответ: $x \in (-3, \frac{7}{2})$.

1) Сначала вычислим определённый интеграл:

$\int_x^{2x} \sin(2t) dt = \left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_x^{2x} = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2x) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x))$

Теперь решим уравнение, подставив результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) - \cos(4x) = 1$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

$\cos(2x) - (2\cos^2(2x) - 1) = 1$

$\cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 = 1$

$\cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 0$

Вынесем $\cos(2x)$ за скобки:

$\cos(2x)(1 - 2\cos(2x)) = 0$

Из этого уравнения получаем два случая:

а) $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ - целое число.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$

Наименьшее положительное значение $x$ получается при $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$.

б) $1 - 2\cos(2x) = 0 \Rightarrow \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $n$ - целое число.

$x = \pm\frac{\pi}{6} + n\pi$

Наименьшее положительное значение $x$ получается при знаке '+' и $n=0$: $x = \frac{\pi}{6}$.

Сравниваем наименьшие положительные значения из двух случаев: $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{6}$.

Так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$, то наименьшее положительное значение $x$, удовлетворяющее условию, равно $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}$

2) Вычислим интеграл:

$\int_x^{x+1} \sin(2t) dt = \left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_x^{x+1} = -\frac{1}{2}\cos(2(x+1)) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(2x+2))$

Теперь решим неравенство:

$\frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(2x+2)) < 0$

$\cos(2x) - \cos(2x+2) < 0$

Используем формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2\sin\left(\frac{2x + 2x+2}{2}\right)\sin\left(\frac{2x - (2x+2)}{2}\right) < 0$

$-2\sin(2x+1)\sin(-1) < 0$

Так как $\sin(-1) = -\sin(1)$, получаем:

$2\sin(1)\sin(2x+1) < 0$

Значение 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), поэтому $\sin(1) > 0$. Следовательно, $2\sin(1)$ — положительная константа. Мы можем разделить на нее неравенство, не меняя знака:

$\sin(2x+1) < 0$

Синус отрицателен, когда его аргумент находится в третьей или четвертой четверти:

$\pi + 2n\pi < 2x+1 < 2\pi + 2n\pi$, где $n$ - целое число.

Решим это двойное неравенство относительно $x$:

$\pi - 1 + 2n\pi < 2x < 2\pi - 1 + 2n\pi$

$\frac{\pi - 1}{2} + n\pi < x < \pi - \frac{1}{2} + n\pi$

Мы ищем наименьшее целое положительное значение $x$. Проверим значения для $n$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.

При $n=0$:

$\frac{3.14 - 1}{2} < x < 3.14 - \frac{1}{2}$

$\frac{2.14}{2} < x < 2.64$

$1.07 < x < 2.64$

Наименьшее целое число в этом интервале — это $x=2$. Так как это положительное число, и мы начали с наименьшего $n$, которое дает положительные $x$, это и есть искомое значение.

Ответ: $x = 2$