Номер 42, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin(2x) \cos(3x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
В нашем случае $\alpha=2x$ и $\beta=3x$. Тогда подынтегральная функция преобразуется к виду:
$\sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin(x))$.
Теперь интегрируем полученное выражение:
$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin(x)) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (\sin(5x) - \sin(x)) dx$
$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5}\cos(5x) - (-\cos(x)) \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \cos(x) - \frac{1}{5}\cos(5x) \right]_{0}^{\pi}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left(\cos(\pi) - \frac{1}{5}\cos(5\pi)\right) - \left(\cos(0) - \frac{1}{5}\cos(0)\right) \right)$
Зная, что $\cos(\pi)=-1$, $\cos(5\pi)=-1$ и $\cos(0)=1$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left(-1 - \frac{1}{5}(-1)\right) - \left(1 - \frac{1}{5}(1)\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(-1 + \frac{1}{5}\right) - \left(1 - \frac{1}{5}\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{8}{5} \right) = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi/2} \sin(4x) \sin(5x) dx$ воспользуемся формулой произведения синусов: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
Здесь $\alpha=4x$ и $\beta=5x$. Подынтегральная функция примет вид:
$\sin(4x)\sin(5x) = \frac{1}{2}(\cos(4x-5x) - \cos(4x+5x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) - \cos(9x)) = \frac{1}{2}(\cos(x) - \cos(9x))$.
Интегрируем это выражение:
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}(\cos(x) - \cos(9x)) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (\cos(x) - \cos(9x)) dx$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin(x) - \frac{1}{9}\sin(9x) \right]_{0}^{\pi/2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left(\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{9}\sin(\frac{9\pi}{2})\right) - \left(\sin(0) - \frac{1}{9}\sin(0)\right) \right)$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, $\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(4\pi+\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$ и $\sin(0)=0$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{1}{9}(1)\right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 - \sqrt{2} \cos\frac{x}{2}} dx$ преобразуем числитель с помощью формулы косинуса двойного угла: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.
Тогда подынтегральное выражение станет: $\frac{2\cos^2\frac{x}{2} - 1}{1 - \sqrt{2} \cos\frac{x}{2}}$.
Разложим числитель на множители как разность квадратов: $2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = (\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)$.
Теперь дробь можно сократить:
$\frac{(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)}{1 - \sqrt{2} \cos\frac{x}{2}} = \frac{(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)}{-(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)} = -(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)$.
Заметим, что знаменатель обращается в ноль при $x=\pi/2$, что делает исходный интеграл несобственным. Однако, поскольку мы смогли сократить дробь, это означает, что в точке $x=\pi/2$ была устранимая особенность. Мы можем вычислить интеграл от упрощенного выражения.
$\int_{0}^{\pi/2} -(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1) dx = -\left[ \sqrt{2} \frac{\sin\frac{x}{2}}{1/2} + x \right]_{0}^{\pi/2} = -\left[ 2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2} + x \right]_{0}^{\pi/2}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= -\left( \left(2\sqrt{2}\sin\frac{\pi/2}{2} + \frac{\pi}{2}\right) - (2\sqrt{2}\sin 0 + 0) \right) = -\left( 2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - 0 \right)$
Так как $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$= -\left( 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\pi}{2} \right) = -\left( 2 + \frac{\pi}{2} \right)$.
Ответ: $-2 - \frac{\pi}{2}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2 \sin x + 1} dx$ применим метод замены переменной.
Пусть $u = 2\sin x + 1$. Тогда дифференциал $du = (2\sin x + 1)' dx = 2\cos x dx$. Отсюда $\cos x dx = \frac{1}{2} du$.
Теперь найдем новые пределы интегрирования:
При $x=0$, $u = 2\sin 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.
При $x=\pi/2$, $u = 2\sin\frac{\pi}{2} + 1 = 2(1) + 1 = 3$.
Подставляем замену в интеграл:
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2 \sin x + 1} dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{du}{u}$
Вычисляем полученный интеграл:
$= \frac{1}{2} \left[ \ln|u| \right]_{1}^{3} = \frac{1}{2}(\ln 3 - \ln 1)$.
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$= \frac{1}{2}\ln 3$.
Ответ: $\frac{1}{2}\ln 3$