Номер 41, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения неравенства $\int_{0}^{x} 5dt > 1$ сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Первообразная для функции $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $\int_{0}^{x} 5dt = [5t]_{0}^{x} = 5x - 5 \cdot 0 = 5x$. Теперь неравенство принимает вид: $5x > 1$. Разделим обе части на 5: $x > \frac{1}{5}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\int_{x}^{x^2} 5dt < 0$. Вычислим интеграл: $\int_{x}^{x^2} 5dt = [5t]_{x}^{x^2} = 5(x^2) - 5x = 5x^2 - 5x$. Подставим результат в неравенство: $5x^2 - 5x < 0$. Разделим обе части на 5: $x^2 - x < 0$. Разложим левую часть на множители: $x(x - 1) < 0$. Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x-1)=0$, это $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Так как ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями. Следовательно, $0 < x < 1$.
Ответ: $x \in (0; 1)$.

3) Решим неравенство $\int_{x}^{1} 3dt > 9$. Сначала вычислим интеграл: $\int_{x}^{1} 3dt = [3t]_{x}^{1} = 3 \cdot 1 - 3x = 3 - 3x$. Неравенство принимает вид: $3 - 3x > 9$. Вычтем 3 из обеих частей: $-3x > 6$. Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный: $x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

4) Рассмотрим неравенство $\int_{x}^{2} (2t - 3)dt > 0$. Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 3$. Первообразная есть $F(t) = t^2 - 3t$. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{x}^{2} (2t - 3)dt = [t^2 - 3t]_{x}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - (x^2 - 3x) = (4 - 6) - (x^2 - 3x) = -2 - x^2 + 3x$. Теперь решим неравенство: $-x^2 + 3x - 2 > 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 3x + 2 < 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Разложим на множители: $(x - 1)(x - 2) < 0$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями. Таким образом, $1 < x < 2$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.