Номер 36, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{1,5} (1 - 2x)^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = (1 - 2x)^3$. Это степенная функция, и для интегрирования функции вида $(kx+b)^n$ мы используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае, $k = -2$, $b = 1$, и $n = 3$.

Первообразная $F(x)$ будет равна:

$F(x) = \int (1 - 2x)^3 dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1 - 2x)^{3+1}}{3+1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 - 2x)^4}{4} = -\frac{(1 - 2x)^4}{8}$.

Теперь, применяя формулу Ньютона-Лейбница, подставим пределы интегрирования:

$\int_{1}^{1,5} (1 - 2x)^3 dx = \left. -\frac{(1 - 2x)^4}{8} \right|_{1}^{1,5} = \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1,5)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1)^4}{8}\right)$

$= \left(-\frac{(1 - 3)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{8}\right) = \left(-\frac{(-2)^4}{8}\right) - \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{16}{8} + \frac{1}{8} = -2 + \frac{1}{8} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $-\frac{15}{8}$.

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{1/3} (3x + 1)^3 dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = (3x + 1)^3$, используя ту же формулу. Здесь $k=3$, $b=1$, $n=3$.

$F(x) = \int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 1)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 1)^4}{4} = \frac{(3x + 1)^4}{12}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами от 0 до $1/3$:

$\int_{0}^{1/3} (3x + 1)^3 dx = \left. \frac{(3x + 1)^4}{12} \right|_{0}^{1/3} = \frac{(3 \cdot \frac{1}{3} + 1)^4}{12} - \frac{(3 \cdot 0 + 1)^4}{12}$

$= \frac{(1 + 1)^4}{12} - \frac{1^4}{12} = \frac{2^4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{16}{12} - \frac{1}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{4} \frac{(2 - x)^3}{8} dx$.

Сначала вынесем постоянный множитель $\frac{1}{8}$ за знак интеграла:

$\int_{-1}^{4} \frac{(2 - x)^3}{8} dx = \frac{1}{8} \int_{-1}^{4} (2 - x)^3 dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = (2 - x)^3$. В этом случае $k=-1$, $b=2$, $n=3$.

$F(x) = \int (2 - x)^3 dx = \frac{1}{-1} \cdot \frac{(2 - x)^{3+1}}{3+1} = -\frac{(2 - x)^4}{4}$.

Теперь вычислим значение интеграла:

$\frac{1}{8} \int_{-1}^{4} (2 - x)^3 dx = \frac{1}{8} \left[ -\frac{(2 - x)^4}{4} \right]_{-1}^{4} = \frac{1}{8} \left( \left(-\frac{(2 - 4)^4}{4}\right) - \left(-\frac{(2 - (-1))^4}{4}\right) \right)$

$= \frac{1}{8} \left( -\frac{(-2)^4}{4} - \left(-\frac{3^4}{4}\right) \right) = \frac{1}{8} \left( -\frac{16}{4} + \frac{81}{4} \right) = \frac{1}{8} \left( -4 + \frac{81}{4} \right)$

$= \frac{1}{8} \left( \frac{-16 + 81}{4} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{65}{4} = \frac{65}{32}$.

Ответ: $\frac{65}{32}$.

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx$.

Вынесем константу $\frac{1}{7}$ за знак интеграла:

$\int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx = \frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = (1 - x)^4$. Здесь $k=-1$, $b=1$, $n=4$.

$F(x) = \int (1 - x)^4 dx = \frac{1}{-1} \cdot \frac{(1 - x)^{4+1}}{4+1} = -\frac{(1 - x)^5}{5}$.

Вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx = \frac{1}{7} \left[ -\frac{(1 - x)^5}{5} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{7} \left( \left(-\frac{(1 - 0)^5}{5}\right) - \left(-\frac{(1 - (-1))^5}{5}\right) \right)$

$= \frac{1}{7} \left( -\frac{1^5}{5} - \left(-\frac{2^5}{5}\right) \right) = \frac{1}{7} \left( -\frac{1}{5} - \left(-\frac{32}{5}\right) \right) = \frac{1}{7} \left( -\frac{1}{5} + \frac{32}{5} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{31}{5} = \frac{31}{35}$.

Ответ: $\frac{31}{35}$.