Страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{1,5} (1 - 2x)^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = (1 - 2x)^3$. Это степенная функция, и для интегрирования функции вида $(kx+b)^n$ мы используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае, $k = -2$, $b = 1$, и $n = 3$.

Первообразная $F(x)$ будет равна:

$F(x) = \int (1 - 2x)^3 dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1 - 2x)^{3+1}}{3+1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 - 2x)^4}{4} = -\frac{(1 - 2x)^4}{8}$.

Теперь, применяя формулу Ньютона-Лейбница, подставим пределы интегрирования:

$\int_{1}^{1,5} (1 - 2x)^3 dx = \left. -\frac{(1 - 2x)^4}{8} \right|_{1}^{1,5} = \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1,5)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1)^4}{8}\right)$

$= \left(-\frac{(1 - 3)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{8}\right) = \left(-\frac{(-2)^4}{8}\right) - \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{16}{8} + \frac{1}{8} = -2 + \frac{1}{8} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $-\frac{15}{8}$.

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{1/3} (3x + 1)^3 dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = (3x + 1)^3$, используя ту же формулу. Здесь $k=3$, $b=1$, $n=3$.

$F(x) = \int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 1)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 1)^4}{4} = \frac{(3x + 1)^4}{12}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами от 0 до $1/3$:

$\int_{0}^{1/3} (3x + 1)^3 dx = \left. \frac{(3x + 1)^4}{12} \right|_{0}^{1/3} = \frac{(3 \cdot \frac{1}{3} + 1)^4}{12} - \frac{(3 \cdot 0 + 1)^4}{12}$

$= \frac{(1 + 1)^4}{12} - \frac{1^4}{12} = \frac{2^4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{16}{12} - \frac{1}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{4} \frac{(2 - x)^3}{8} dx$.

Сначала вынесем постоянный множитель $\frac{1}{8}$ за знак интеграла:

$\int_{-1}^{4} \frac{(2 - x)^3}{8} dx = \frac{1}{8} \int_{-1}^{4} (2 - x)^3 dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = (2 - x)^3$. В этом случае $k=-1$, $b=2$, $n=3$.

$F(x) = \int (2 - x)^3 dx = \frac{1}{-1} \cdot \frac{(2 - x)^{3+1}}{3+1} = -\frac{(2 - x)^4}{4}$.

Теперь вычислим значение интеграла:

$\frac{1}{8} \int_{-1}^{4} (2 - x)^3 dx = \frac{1}{8} \left[ -\frac{(2 - x)^4}{4} \right]_{-1}^{4} = \frac{1}{8} \left( \left(-\frac{(2 - 4)^4}{4}\right) - \left(-\frac{(2 - (-1))^4}{4}\right) \right)$

$= \frac{1}{8} \left( -\frac{(-2)^4}{4} - \left(-\frac{3^4}{4}\right) \right) = \frac{1}{8} \left( -\frac{16}{4} + \frac{81}{4} \right) = \frac{1}{8} \left( -4 + \frac{81}{4} \right)$

$= \frac{1}{8} \left( \frac{-16 + 81}{4} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{65}{4} = \frac{65}{32}$.

Ответ: $\frac{65}{32}$.

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx$.

Вынесем константу $\frac{1}{7}$ за знак интеграла:

$\int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx = \frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = (1 - x)^4$. Здесь $k=-1$, $b=1$, $n=4$.

$F(x) = \int (1 - x)^4 dx = \frac{1}{-1} \cdot \frac{(1 - x)^{4+1}}{4+1} = -\frac{(1 - x)^5}{5}$.

Вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx = \frac{1}{7} \left[ -\frac{(1 - x)^5}{5} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{7} \left( \left(-\frac{(1 - 0)^5}{5}\right) - \left(-\frac{(1 - (-1))^5}{5}\right) \right)$

$= \frac{1}{7} \left( -\frac{1^5}{5} - \left(-\frac{2^5}{5}\right) \right) = \frac{1}{7} \left( -\frac{1}{5} - \left(-\frac{32}{5}\right) \right) = \frac{1}{7} \left( -\frac{1}{5} + \frac{32}{5} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{31}{5} = \frac{31}{35}$.

Ответ: $\frac{31}{35}$.

1) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение. Так как $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, то $ \frac{5\sqrt{x}}{x} = \frac{5x^{1/2}}{x^1} = 5x^{1/2 - 1} = 5x^{-1/2} $.
Теперь вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для степенной функции $ x^n $ находится по формуле $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $.
$ \int_{1}^{4} 5x^{-1/2} dx = 5 \int_{1}^{4} x^{-1/2} dx = 5 \cdot \left( \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right) \Big|_{1}^{4} = 5 \cdot \left( \frac{x^{1/2}}{1/2} \right) \Big|_{1}^{4} = 10x^{1/2} \Big|_{1}^{4} = 10\sqrt{x} \Big|_{1}^{4} $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ 10\sqrt{4} - 10\sqrt{1} = 10 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 20 - 10 = 10 $.
Ответ: 10

2) Для вычисления интеграла $ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx $ воспользуемся методом замены переменной.
Пусть $ t = 1-x $. Тогда найдем дифференциал: $ dt = (1-x)' dx = -dx $, откуда $ dx = -dt $.
Так как мы меняем переменную, нужно найти новые пределы интегрирования:
нижний предел: при $ x = -8 $, $ t = 1 - (-8) = 1 + 8 = 9 $.
верхний предел: при $ x = -3 $, $ t = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 $.
Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = \int_{9}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} (-dt) = -\int_{9}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} dt $.
Используем свойство определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования и избавиться от знака "минус":
$ -\int_{9}^{4} t^{-1/2} dt = \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt = \left[ \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{4}^{9} = [2\sqrt{t}]_{4}^{9} $.
Подставляем новые пределы:
$ 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2 $.
Ответ: 2

3) Вычислим интеграл $ \int_{4}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx $. Применим метод замены переменной.
Пусть $ t = x+5 $. Тогда $ dt = (x+5)' dx = dx $.
Найдем новые пределы интегрирования:
нижний предел: при $ x = 4 $, $ t = 4 + 5 = 9 $.
верхний предел: при $ x = 11 $, $ t = 11 + 5 = 16 $.
Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{4}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx = \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \int_{9}^{16} t^{-1/2} dt $.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \left[ \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{9}^{16} = [2\sqrt{t}]_{9}^{16} = 2\sqrt{16} - 2\sqrt{9} = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2 $.
Ответ: 2

4) Вычислим интеграл $ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx $. Снова используем метод замены переменной.
Пусть $ t = x+2 $. Тогда $ dt = (x+2)' dx = dx $.
Найдем новые пределы интегрирования:
нижний предел: при $ x = 14 $, $ t = 14 + 2 = 16 $.
верхний предел: при $ x = 47 $, $ t = 47 + 2 = 49 $.
Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = \int_{16}^{49} \frac{4}{\sqrt{t}} dt = 4 \int_{16}^{49} t^{-1/2} dt $.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$ 4 \left[ \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{16}^{49} = 4 \cdot [2\sqrt{t}]_{16}^{49} = 8[\sqrt{t}]_{16}^{49} $.
Подставляем новые пределы:
$ 8(\sqrt{49} - \sqrt{16}) = 8(7 - 4) = 8 \cdot 3 = 24 $.
Ответ: 24

1) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $.
Отсюда, $ 1 - 2\cos^2 x = -(2\cos^2 x - 1) = -\cos(2x) $.
Тогда интеграл принимает вид:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - 2\cos^2 x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x)) dx $
Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x)) dx = \left[ -\frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin(0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Данный интеграл можно вычислить почленным интегрированием:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2\sin(2x) - 1)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2\sin(2x)dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 1dx $
Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2\sin(2x) - 1 $.
$ F(x) = 2\left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) - x = -\cos(2x) - x $.
Вычислим определенный интеграл:
$ \left[ -\cos(2x) - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \left(-\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3}\right) - \left(-\cos(2 \cdot 0) - 0\right) = \left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3}\right) - (-\cos(0)) $
Поскольку $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $ и $ \cos(0) = 1 $, получаем:
$ \left(-\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\pi}{3}\right) - (-1) = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3} + 1 = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} - \frac{\pi}{3} $.

3) Преобразуем подынтегральную функцию, используя основное тригонометрическое тождество $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $. Это тождество справедливо на интервале интегрирования $ [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}] $, так как на этом интервале $ \sin x \ne 0 $ и $ \cos x \ne 0 $.
$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \tg x \ctg x) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + 1) dx $
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + 1) dx = \left[ -\cos x + x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6}\right) $
Подставим значения тригонометрических функций $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:
$ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \left(\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12} $.

4) Упростим подынтегральное выражение, используя тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $. В данном случае $ \alpha = \frac{x}{5} $. На интервале интегрирования $ [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] $ аргумент $ \frac{x}{5} $ находится в интервале $ [\frac{\pi}{15}, \frac{\pi}{10}] $, где тангенс и котангенс определены.
$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\tg\frac{x}{5} \ctg\frac{x}{5} - \cos x\right) dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx $
Вычислим интеграл:
$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx = \left[ x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(\frac{\pi}{3} - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $
Подставим значения $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:
$ \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) - \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1 - \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \left(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}\right) - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 $.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 $.

39.1) Для решения данного интеграла воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 12\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8} - x\right)dx = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6 \cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8} - x\right)dx$
Применим формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{8} - x$:
$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6 \sin\left(2\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\right)dx = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6 \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции: $\int 6 \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)dx = 6 \cdot \frac{-\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)}{-2} + C = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + C$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \bigg|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2 \cdot \frac{3\pi}{8}\right) - 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)$
$= 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right) - 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = 3\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 3\cos(0)$
Так как $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$3 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$
Ответ: $-3$

2) Для решения этого интеграла воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left(\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)dx$
Применим формулу, где $\alpha = x + \frac{\pi}{3}$:
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)dx$
Найдем первообразную: $\int \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) + C$.
Вычислим определенный интеграл:
$\frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) \bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right)$
$= \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin(\pi)$
Так как $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\pi) = 0$, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{4}$

3) Для решения интеграла воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sin 2x dx$
Применим формулу, где $\alpha = x$ и $\beta = 2x$:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos(x - 2x) - \cos(x + 2x))dx = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos(-x) - \cos(3x))dx$
Так как $\cos(-x) = \cos x$, интеграл принимает вид:
$\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x - \cos(3x))dx$
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left(\sin x - \frac{1}{3}\sin(3x)\right) \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \left(\sin\pi - \frac{1}{3}\sin(3\pi)\right) - \left(\sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{2}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left(0 - \frac{1}{3} \cdot 0\right) - \left(1 - \frac{1}{3} \cdot (-1)\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 0 - \left(1 + \frac{1}{3}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

4) Для решения интеграла воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \cos 2x dx$
Применим формулу, где $\alpha = x$ и $\beta = 2x$:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos(x - 2x) + \cos(x + 2x))dx = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos(-x) + \cos(3x))dx$
Так как $\cos(-x) = \cos x$, интеграл принимает вид:
$\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x + \cos(3x))dx$
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left(\sin x + \frac{1}{3}\sin(3x)\right) \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \left(\sin\pi + \frac{1}{3}\sin(3\pi)\right) - \left(\sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{2}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left(0 + \frac{1}{3} \cdot 0\right) - \left(1 + \frac{1}{3} \cdot (-1)\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 0 - \left(1 - \frac{1}{3}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

1) Дано уравнение $ \int_{1}^{x} (3 - 2t) dt = 4 - 2x $.
Сначала найдем левую часть уравнения, вычислив определенный интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 3 - 2t$ равна $F(t) = \int (3 - 2t) dt = 3t - \frac{2t^2}{2} = 3t - t^2$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a) $:
$ \int_{1}^{x} (3 - 2t) dt = (3t - t^2) \Big|_{1}^{x} = (3x - x^2) - (3 \cdot 1 - 1^2) = 3x - x^2 - (3 - 1) = 3x - x^2 - 2 $.
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
$ 3x - x^2 - 2 = 4 - 2x $.
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ -x^2 + 3x + 2x - 2 - 4 = 0 $
$ -x^2 + 5x - 6 = 0 $.
Умножим обе части на -1:
$ x^2 - 5x + 6 = 0 $.
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:
$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $.
Ответ: $x = 2, x = 3$.

2) Дано уравнение $ \int_{1}^{x} (1 - 4t) dt = 12 - 9x $.
Найдем первообразную для $f(t) = 1 - 4t$: $F(t) = \int (1 - 4t) dt = t - \frac{4t^2}{2} = t - 2t^2$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{1}^{x} (1 - 4t) dt = (t - 2t^2) \Big|_{1}^{x} = (x - 2x^2) - (1 - 2 \cdot 1^2) = x - 2x^2 - (1 - 2) = x - 2x^2 + 1 $.
Подставим в исходное уравнение:
$ x - 2x^2 + 1 = 12 - 9x $.
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$ -2x^2 + x + 9x + 1 - 12 = 0 $
$ -2x^2 + 10x - 11 = 0 $.
Умножим на -1:
$ 2x^2 - 10x + 11 = 0 $.
Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 100 - 88 = 12 $.
Корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2} $.
$ x_1 = \frac{5 - \sqrt{3}}{2} $, $ x_2 = \frac{5 + \sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $x = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2}$.

3) Дано уравнение $ \int_{x}^{-1} (3t - 2) dt = 5 - x $.
Найдем первообразную для $f(t) = 3t - 2$: $F(t) = \int (3t - 2) dt = \frac{3t^2}{2} - 2t$.
Вычислим интеграл:
$ \int_{x}^{-1} (3t - 2) dt = (\frac{3}{2}t^2 - 2t) \Big|_{x}^{-1} = (\frac{3}{2}(-1)^2 - 2(-1)) - (\frac{3}{2}x^2 - 2x) = (\frac{3}{2} + 2) - \frac{3}{2}x^2 + 2x = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x $.
Подставим в исходное уравнение:
$ \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x = 5 - x $.
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей, и приведем к стандартному виду:
$ 7 - 3x^2 + 4x = 10 - 2x $
$ -3x^2 + 4x + 2x + 7 - 10 = 0 $
$ -3x^2 + 6x - 3 = 0 $.
Разделим обе части на -3:
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $.
Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень (кратности 2): $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

4) Дано уравнение $ \int_{x}^{-2} (5t + 1) dt = 6 + x $.
Найдем первообразную для $f(t) = 5t + 1$: $F(t) = \int (5t + 1) dt = \frac{5t^2}{2} + t$.
Вычислим интеграл:
$ \int_{x}^{-2} (5t + 1) dt = (\frac{5}{2}t^2 + t) \Big|_{x}^{-2} = (\frac{5}{2}(-2)^2 + (-2)) - (\frac{5}{2}x^2 + x) = (\frac{5}{2} \cdot 4 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = (10 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = 8 - \frac{5}{2}x^2 - x $.
Подставим в исходное уравнение:
$ 8 - \frac{5}{2}x^2 - x = 6 + x $.
Умножим обе части на 2 и приведем к стандартному виду:
$ 16 - 5x^2 - 2x = 12 + 2x $
$ -5x^2 - 2x - 2x + 16 - 12 = 0 $
$ -5x^2 - 4x + 4 = 0 $.
Умножим на -1:
$ 5x^2 + 4x - 4 = 0 $.
Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 16 + 80 = 96 $.
Корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{2(-2 \pm 2\sqrt{6})}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{5} $.
$ x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5} $, $ x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5} $.
Ответ: $x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{5}$.