Страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Фигура ограничена кривыми $y^2 = x$, $x=1$, $x=4$, $y=0$ и условием $y < 0$.

Уравнение $y^2 = x$ задает параболу, симметричную относительно оси Ox. Условие $y < 0$ означает, что мы рассматриваем нижнюю ветвь параболы, уравнение которой $y = -\sqrt{x}$. Таким образом, нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox ($y=0$), снизу кривой $y = -\sqrt{x}$, и по бокам прямыми $x=1$ и $x=4$.

Изобразим данную фигуру (закрашена синим):

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как фигура расположена под осью Ox, функция $y = -\sqrt{x}$ является отрицательной. Площадь можно найти как интеграл от модуля функции или как интеграл от разности верхней и нижней границы ($y_{верх} = 0$, $y_{нижн} = -\sqrt{x}$).

$S = \int_{1}^{4} (0 - (-\sqrt{x})) dx = \int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$

Вычисляем интеграл:

$\int \sqrt{x} dx = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4}^3) - \frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}(2^3) - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: $\frac{14}{3}$

2)

Фигура ограничена кривыми $y^2 = x$, $x=0$, $x=3$, $y=0$ и условием $y > 0$.

Условие $y > 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю ветвь параболы $y^2 = x$, уравнение которой $y = \sqrt{x}$. Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху кривой $y = \sqrt{x}$, снизу осью Ox ($y=0$), и по бокам прямыми $x=0$ (ось Oy) и $x=3$.

Изобразим данную фигуру (закрашена синим):

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y = \sqrt{x}$ в пределах от 0 до 3:

$S = \int_{0}^{3} \sqrt{x} dx$

Используя найденную ранее первообразную, вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{3} = \frac{2}{3}(3^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 0 = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

3)

Фигура ограничена кривыми $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$ и прямой $x=9$.

Найдем точки пересечения кривых $y = 2\sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$.

$2\sqrt{x} = -\sqrt{x} \implies 3\sqrt{x} = 0 \implies x=0$.

Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$ (ось Oy), справа прямой $x=9$, сверху кривой $y = 2\sqrt{x}$ и снизу кривой $y = -\sqrt{x}$.

Изобразим данную фигуру (закрашена синим):

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от 0 до 9.

$y_{верх} = 2\sqrt{x}$

$y_{нижн} = -\sqrt{x}$

$S = \int_{0}^{9} (y_{верх} - y_{нижн}) dx = \int_{0}^{9} (2\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) dx = \int_{0}^{9} (2\sqrt{x} + \sqrt{x}) dx = \int_{0}^{9} 3\sqrt{x} dx$

Вычисляем интеграл:

$S = 3 \int_{0}^{9} x^{1/2} dx = 3 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{9} = 2 [x^{3/2}]_{0}^{9} = 2(9^{3/2} - 0^{3/2})$

$S = 2(\sqrt{9}^3) = 2(3^3) = 2(27) = 54$

Ответ: 54