Номер 35, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ является функция $F(x) = \frac{1}{3} \tan(3x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x} = \frac{1}{3} \tan(3x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{3} \tan(3 \cdot \frac{\pi}{12}) - \frac{1}{3} \tan(3 \cdot 0) = \frac{1}{3} \tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{3} \tan(0) = \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 2x}$ является функция $F(x) = -\frac{1}{2} \cot(2x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x} = -\frac{1}{2} \cot(2x) \Big|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} = \left(-\frac{1}{2} \cot(2 \cdot \frac{\pi}{6})\right) - \left(-\frac{1}{2} \cot(2 \cdot \frac{\pi}{12})\right) = -\frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \sin(3x)$ является функция $F(x) = -\frac{1}{3} \cos(3x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x) dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) \Big|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(-\frac{1}{3} \cos(3 \cdot \frac{\pi}{12})\right) - \left(-\frac{1}{3} \cos(3 \cdot \frac{\pi}{18})\right) = -\frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \cos(4x)$ является функция $F(x) = \frac{1}{4} \sin(4x)$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x) dx = \frac{1}{4} \sin(4x) \Big|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{4} \sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{4} \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{4} \sin(\pi) - \frac{1}{4} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$