Номер 46, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Сначала вычислим определённый интеграл:

$\int_x^{2x} \sin(2t) dt = \left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_x^{2x} = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2x) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x))$

Теперь решим уравнение, подставив результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) - \cos(4x) = 1$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

$\cos(2x) - (2\cos^2(2x) - 1) = 1$

$\cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 = 1$

$\cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 0$

Вынесем $\cos(2x)$ за скобки:

$\cos(2x)(1 - 2\cos(2x)) = 0$

Из этого уравнения получаем два случая:

а) $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ - целое число.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$

Наименьшее положительное значение $x$ получается при $n=0$: $x = \frac{\pi}{4}$.

б) $1 - 2\cos(2x) = 0 \Rightarrow \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $n$ - целое число.

$x = \pm\frac{\pi}{6} + n\pi$

Наименьшее положительное значение $x$ получается при знаке '+' и $n=0$: $x = \frac{\pi}{6}$.

Сравниваем наименьшие положительные значения из двух случаев: $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{6}$.

Так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$, то наименьшее положительное значение $x$, удовлетворяющее условию, равно $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}$

2) Вычислим интеграл:

$\int_x^{x+1} \sin(2t) dt = \left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_x^{x+1} = -\frac{1}{2}\cos(2(x+1)) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(2x+2))$

Теперь решим неравенство:

$\frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(2x+2)) < 0$

$\cos(2x) - \cos(2x+2) < 0$

Используем формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2\sin\left(\frac{2x + 2x+2}{2}\right)\sin\left(\frac{2x - (2x+2)}{2}\right) < 0$

$-2\sin(2x+1)\sin(-1) < 0$

Так как $\sin(-1) = -\sin(1)$, получаем:

$2\sin(1)\sin(2x+1) < 0$

Значение 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), поэтому $\sin(1) > 0$. Следовательно, $2\sin(1)$ — положительная константа. Мы можем разделить на нее неравенство, не меняя знака:

$\sin(2x+1) < 0$

Синус отрицателен, когда его аргумент находится в третьей или четвертой четверти:

$\pi + 2n\pi < 2x+1 < 2\pi + 2n\pi$, где $n$ - целое число.

Решим это двойное неравенство относительно $x$:

$\pi - 1 + 2n\pi < 2x < 2\pi - 1 + 2n\pi$

$\frac{\pi - 1}{2} + n\pi < x < \pi - \frac{1}{2} + n\pi$

Мы ищем наименьшее целое положительное значение $x$. Проверим значения для $n$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.

При $n=0$:

$\frac{3.14 - 1}{2} < x < 3.14 - \frac{1}{2}$

$\frac{2.14}{2} < x < 2.64$

$1.07 < x < 2.64$

Наименьшее целое число в этом интервале — это $x=2$. Так как это положительное число, и мы начали с наименьшего $n$, которое дает положительные $x$, это и есть искомое значение.

Ответ: $x = 2$