Номер 28, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решение

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos(5x)$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{\pi}{30}$ и $x = d$, вычисляется с помощью определенного интеграла. По условию задано, что $d < \frac{\pi}{30}$, поэтому $d$ является нижним пределом интегрирования, а $\frac{\pi}{30}$ — верхним.

Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{d}^{\frac{\pi}{30}} \cos(5x) \,dx$

Для того чтобы этот интеграл представлял геометрическую площадь, функция $y = \cos(5x)$ должна быть неотрицательной на всем интервале интегрирования. Функция $\cos(t)$ неотрицательна при $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Для нашей функции это означает, что $5x$ должно быть в этом диапазоне, то есть $x \in [-\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}]$. Так как верхний предел $x = \frac{\pi}{30}$ (что равносильно $5x = \frac{\pi}{6}$) находится внутри этого интервала, мы ищем такое значение $d$, при котором функция не меняет знак.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(5x)$: $F(x) = \int \cos(5x) \,dx = \frac{1}{5}\sin(5x)$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: $S = \left[ \frac{1}{5}\sin(5x) \right]_{d}^{\frac{\pi}{30}} = \frac{1}{5}\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{30}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Упростим выражение, зная что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$: $S = \frac{1}{5}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

По условию задачи, площадь равна $0,2$. Составим и решим уравнение: $0,2 = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Переведем $0,2$ в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10}$. $\frac{2}{10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}\sin(5d)$

Выразим $\sin(5d)$: $\frac{1}{5}\sin(5d) = \frac{1}{10} - \frac{2}{10}$ $\frac{1}{5}\sin(5d) = -\frac{1}{10}$ $\sin(5d) = -\frac{1}{10} \cdot 5$ $\sin(5d) = -\frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического уравнения является $5d = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ — целое число. Учитывая, что $d < \frac{\pi}{30}$ ($5d < \frac{\pi}{6}$) и $d \ge -\frac{\pi}{10}$ ($5d \ge -\frac{\pi}{2}$), чтобы функция $\cos(5x)$ была неотрицательна, мы ищем решение в интервале $-\frac{\pi}{2} \le 5d < \frac{\pi}{6}$. Единственное подходящее значение из общего решения — это $5d = -\frac{\pi}{6}$ (соответствует $k=0$).

Найдем $d$: $5d = -\frac{\pi}{6}$ $d = -\frac{\pi}{30}$

Это значение удовлетворяет условию $d < \frac{\pi}{30}$, так как $-\frac{\pi}{30} < \frac{\pi}{30}$.

Ответ: $d = -\frac{\pi}{30}$