Номер 26, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и $y=g(x)$ на отрезке $[b; c]$, прямыми $x=a$, $x=c$ и осью $Ox$, необходимо вычислить сумму площадей двух криволинейных трапеций. Общая площадь $S$ находится как сумма определенных интегралов:

$S = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c g(x) \,dx$

Эта формула верна, если функции $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны на своих промежутках интегрирования.

1) $f(x) = x^2 + 2x + 3$, $[-2; 1]$ и $g(x) = x^2 - 2x + 7$, $[1; 2]$.

В данном случае $a = -2$, $b = 1$, $c = 2$.

Функция $f(x) = x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$ всегда положительна, так как ее минимальное значение равно 2.

Функция $g(x) = x^2 - 2x + 7 = (x-1)^2 + 6$ также всегда положительна, так как ее минимальное значение равно 6.

Следовательно, искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \,dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x \right) \Big|_{-2}^{1} = \left( \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right) \Big|_{-2}^{1}$

$= \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 3(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3(-2) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} + 1 + 3 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 4 - 6 \right) = \left( \frac{1}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{13}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = \frac{13}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 7) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 7x \right) \Big|_{1}^{2} = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 7x \right) \Big|_{1}^{2}$

$= \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 7(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 7(1) \right)$

$= \left( \frac{8}{3} - 4 + 14 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 7 \right) = \left( \frac{8}{3} + 10 \right) - \left( \frac{1}{3} + 6 \right) = \frac{38}{3} - \frac{19}{3} = \frac{19}{3}$.

Теперь найдем общую площадь:

$S = 9 + \frac{19}{3} = \frac{27}{3} + \frac{19}{3} = \frac{46}{3}$.

Ответ: $\frac{46}{3}$.

2) $f(x) = -x^2 - 4x - 1$, $[-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 + 2x + 5$, $[-1; 1]$.

В данном случае $a = -3$, $b = -1$, $c = 1$.

Функция $f(x) = -x^2 - 4x - 1$. На отрезке $[-3; -1]$ ее вершина находится в точке $x = -2$, $f(-2) = -(-2)^2-4(-2)-1=3$. Значения на концах отрезка: $f(-3) = 2$, $f(-1) = 2$. Так как минимальное значение на отрезке равно 2, функция $f(x) \ge 0$ на $[-3; -1]$.

Функция $g(x) = -x^2 + 2x + 5$. На отрезке $[-1; 1]$ ее вершина находится в точке $x = 1$, $g(1) = -1^2+2(1)+5=6$. Значение на другом конце отрезка: $g(-1) = -(-1)^2+2(-1)+5=2$. Так как минимальное значение на отрезке равно 2, функция $g(x) \ge 0$ на $[-1; 1]$.

Искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) \,dx + \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) \,dx = \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} - x \right) \Big|_{-3}^{-1} = \left( -\frac{x^3}{3} - 2x^2 - x \right) \Big|_{-3}^{-1}$

$= \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - (-1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - (-3) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} - 2 + 1 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 + 3 \right) = \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - (9 - 15) = -\frac{2}{3} - (-6) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Вычислим второй интеграл:

$\int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x + 5) \,dx = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 5x \right) \Big|_{-1}^{1} = \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right) \Big|_{-1}^{1}$

$= \left( -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 5(1) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 5(-1) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} + 1 + 5 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 5 \right) = \left( -\frac{1}{3} + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = \frac{17}{3} - \left( -\frac{11}{3} \right) = \frac{17}{3} + \frac{11}{3} = \frac{28}{3}$.

Теперь найдем общую площадь:

$S = \frac{16}{3} + \frac{28}{3} = \frac{44}{3}$.

Ответ: $\frac{44}{3}$.