Номер 55, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = x^2 - 4x - 4$, $y = -x$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем выражения для $y$:
$x^2 - 4x - 4 = -x$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Эти значения являются пределами интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $[-1, 4]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:
Для первой функции: $y = 0^2 - 4(0) - 4 = -4$
Для второй функции: $y = -0 = 0$
Так как $0 > -4$, на интервале $[-1, 4]$ график функции $y = -x$ находится выше графика функции $y = x^2 - 4x - 4$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ — верхняя функция, а $g(x)$ — нижняя.
В нашем случае $a = -1$, $b = 4$, $f(x) = -x$, $g(x) = x^2 - 4x - 4$.
$S = \int_{-1}^{4} ((-x) - (x^2 - 4x - 4)) dx = \int_{-1}^{4} (-x - x^2 + 4x + 4) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

Вычислим определенный интеграл, найдя первообразную:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4(-1) \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{2+9-24}{6} \right)$
$S = \left( 40 - \frac{64}{3} \right) - \left( -\frac{13}{6} \right) = \frac{120-64}{3} + \frac{13}{6} = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112+13}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $S = \frac{125}{6}$

2) $y = 3x^2$, $y = 2x$

Найдем точки пересечения графиков функций, приравняв их:
$3x^2 = 2x$
$3x^2 - 2x = 0$
$x(3x - 2) = 0$
Отсюда получаем точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$. Это будут пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $[0, \frac{2}{3}]$. Возьмем тестовую точку, например, $x=\frac{1}{3}$:
Для первой функции: $y = 3(\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
Для второй функции: $y = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Так как $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$, на интервале $[0, \frac{2}{3}]$ график функции $y = 2x$ лежит выше графика $y = 3x^2$.

Площадь фигуры найдем по интегралу разности функций:
$S = \int_{0}^{2/3} (2x - 3x^2) dx$

Вычисляем интеграл:
$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2/3} = \left[ x^2 - x^3 \right]_{0}^{2/3}$
$S = \left( (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^3 \right) - (0^2 - 0^3) = \left( \frac{4}{9} - \frac{8}{27} \right) - 0$
$S = \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$

Ответ: $S = \frac{4}{27}$